Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Circunferência Tópico resolvido

[jomatlove]

Calcular o comprimento da corda do círculo [tex3](x-2)^{2}+(y-4)^{2}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-2)^{2}+(y-4)^{2}=10[/tex3]

cujo ponto [tex3]A(1,2)[/tex3]

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[tex3]A(1,2)[/tex3]

divide essa corda em duas partes iguais.

Resposta

---

[tex3]2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{5}[/tex3]

[LucasPinafi]

[tex3]O = (2, 4)[/tex3]

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[tex3]O = (2, 4)[/tex3]

Reta que passa por OA
[tex3]y - 2 = \frac{4-2}{2-1} ( x - 1) \Longrightarrow y = 2x [/tex3]

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[tex3]y - 2 = \frac{4-2}{2-1} ( x - 1) \Longrightarrow y = 2x [/tex3]

[tex3]m' = - \frac 1 2 [/tex3]

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[tex3]m' = - \frac 1 2 [/tex3]

[tex3]y - 2 = - \frac 1 2 (x-1) \Longrightarrow 2y -4 = -x+1 \Longrightarrow x + 2y -5 = 0 [/tex3]

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[tex3]y - 2 = - \frac 1 2 (x-1) \Longrightarrow 2y -4 = -x+1 \Longrightarrow x + 2y -5 = 0 [/tex3]

é a reta procurada. O comprimento da corda é simples de se obter. Temos,
[tex3]d(O, r) = \frac{|2 \cdot 1 +4 \cdot 2 -5 |}{\sqrt{1+2^2} } = \frac{5}{\sqrt 5 } = \sqrt 5 [/tex3]

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[tex3]d(O, r) = \frac{|2 \cdot 1 +4 \cdot 2 -5 |}{\sqrt{1+2^2} } = \frac{5}{\sqrt 5 } = \sqrt 5 [/tex3]

sendo [tex3]\ell[/tex3]

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[tex3]\ell[/tex3]

o comprimento, R o raio do círculo (= [tex3]\sqrt {10}[/tex3]

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[tex3]\sqrt {10}[/tex3]

), segue que:
[tex3]R^2 = \left( \frac \ell 2 \right)^2 +d^2(O, r) \Longrightarrow 10- 5 = \left( \frac \ell 2 \right)^2 \Longrightarrow \frac \ell 2 =
\sqrt 5 \Longrightarrow \ell = 2 \sqrt 5 [/tex3]

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[tex3]R^2 = \left( \frac \ell 2 \right)^2 +d^2(O, r) \Longrightarrow 10- 5 = \left( \frac \ell 2 \right)^2 \Longrightarrow \frac \ell 2 =
\sqrt 5 \Longrightarrow \ell = 2 \sqrt 5 [/tex3]