Ensino Médio ⇒ Algebra Linear Tópico resolvido

[Ronny]

Prove que [tex3]\mathbb{R}^{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}^{n}[/tex3]

'e um espaco vectorial sobre o corpo [tex3]K=\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]K=\mathbb{R}[/tex3]

.

[LucasPinafi]

O corpo [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

define as operações de adição e de multiplicação por escalar.
Provar que [tex3]\mathbb{R}^n [/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}^n [/tex3]

é um espaço vetorial é simplesmente mostrar as 8 propriedades:
1) associatividade:
[tex3]\begin{align} u, v , w \in \mathbb{R}^n \Longrightarrow u + (v +w) & =(u+v) + w \\ & = \left[(a_1, a_2 , a_3, \dots, a_n )+(b_1, b_2 , \dots , b_n ) \right] + (c_1 , c_2 , \dots, c_n ) \\ & = (a_1+b_1 , a_2 + b_2 , \dots, a_n +b_n ) + (c_1, c_2 , \dots, c_n ) \\ & = (a_1 +b_1 + c_1 , a_2+b_2+c_2, \dots, a_n +b_n +c_n ) \\ & = (a_1 , a_2 , \dots, a_n ) +(b_1 +c_1, b_2+c_2, \dots, b_n+c_n) \\ & = (a_1 , a_2 , \dots, a_n ) +[(b_1 , b_2, \dots, b_n ) + (c_1, c_2 , \dots, c_n ) ] \\ & = u+(v+w) \end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align} u, v , w \in \mathbb{R}^n \Longrightarrow u + (v +w) & =(u+v) + w \\ & = \left[(a_1, a_2 , a_3, \dots, a_n )+(b_1, b_2 , \dots , b_n ) \right] + (c_1 , c_2 , \dots, c_n ) \\ & = (a_1+b_1 , a_2 + b_2 , \dots, a_n +b_n ) + (c_1, c_2 , \dots, c_n ) \\ & = (a_1 +b_1 + c_1 , a_2+b_2+c_2, \dots, a_n +b_n +c_n ) \\ & = (a_1 , a_2 , \dots, a_n ) +(b_1 +c_1, b_2+c_2, \dots, b_n+c_n) \\ & = (a_1 , a_2 , \dots, a_n ) +[(b_1 , b_2, \dots, b_n ) + (c_1, c_2 , \dots, c_n ) ] \\ & = u+(v+w) \end{align}[/tex3]

2) elemento neutro (imediato) é vetor [tex3]\vec 0 = (0, 0, \dots, 0)[/tex3]

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[tex3]\vec 0 = (0, 0, \dots, 0)[/tex3]

, onde há n 0's.
3) oposto (imediato), basta tomar [tex3]v = (-a_1, -a_2, \dots, -a_n )[/tex3]

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[tex3]v = (-a_1, -a_2, \dots, -a_n )[/tex3]

4) comutatividade (siga como em 1)
5) Multiplicação por escalar:
[tex3]\begin{align} k_1, k_2 \in \mathbb{R}, v \in \mathbb{R}^n \Longrightarrow k_1\cdot (k_2\cdot v) & = (k_1\cdot k_2) \cdot v \\ & = (k_1\cdot k_2) (a_1, a_2 , \dots, a_n) \\ & = (k_1k_2 a_1, k_1 k_2 a_2 , \dots, k_1 k_2 a_n ) \\ & = k_1 (k_2 a, k_2 a_2 , \dots , k_2 a_n) \\ & = k_1 (k_2 \cdot v) \end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align} k_1, k_2 \in \mathbb{R}, v \in \mathbb{R}^n \Longrightarrow k_1\cdot (k_2\cdot v) & = (k_1\cdot k_2) \cdot v \\ & = (k_1\cdot k_2) (a_1, a_2 , \dots, a_n) \\ & = (k_1k_2 a_1, k_1 k_2 a_2 , \dots, k_1 k_2 a_n ) \\ & = k_1 (k_2 a, k_2 a_2 , \dots , k_2 a_n) \\ & = k_1 (k_2 \cdot v) \end{align}[/tex3]

6) Elemento neutro da multiplicação por escalar: basta tomar o número 1.
7) Distributiva em relação a soma: [tex3]a\cdot (u+v) = a\cdot u + a\cdot v[/tex3]

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[tex3]a\cdot (u+v) = a\cdot u + a\cdot v[/tex3]

(proceda como acima)
8 ) Por fim, temos [tex3](k_1 +k_2) \cdot u = k_1 \cdot u + k_2 \cdot u[/tex3]

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[tex3](k_1 +k_2) \cdot u = k_1 \cdot u + k_2 \cdot u[/tex3]

tu irá ver que todas as propriedades são satisfeitas, de modo que [tex3]\mathbb{R}^n[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}^n[/tex3]

é um espaço vetorial no corpo de operações definidas em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

[Ronny]

Sem palavras cara !! Entendi tudo.