Ensino MédioEquação polinomial

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jomatlove
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Out 2017 18 12:31

Equação polinomial

Mensagem não lida por jomatlove »

Se as raízes da equação [tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+m=0[/tex3] são proporcionais aos números 2,3 e 4,determinar n.
Resposta

[tex3]\frac{39}{4}[/tex3]

:(



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leomaxwell
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Out 2017 18 14:31

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por leomaxwell »

Olá,
Sejam [tex3]x',x''[/tex3] e [tex3]x'''[/tex3] as raízes do polinômio, temos que [tex3]x'=2k[/tex3] , [tex3]x''=3k[/tex3] e [tex3]x'''=4k[/tex3]
Lembrando que podemos fatorar um polinômio [tex3]p(x)[/tex3] na forma [tex3]p(x)=a_0(x-x')(x-x'')...[/tex3] , teremos:
[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+m=0=1(x-2k)(x-3k)(x-4k)[/tex3]
[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+m=0=(x^2-3kx-2kx+6k^2)(x-4k)[/tex3]
[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+m=0=(x^2-5kx+6k^2)(x-4k)[/tex3]
[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+m=0=x^3-4kx^2-5kx^2+20k^2x+6k^2x-24k^3[/tex3]
[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+m=0=x^3-9kx^2+26k^2-24k^3[/tex3]

Comparando membro a membro, temos
[tex3]\begin{cases}
m=-9k (I)\\
n=26k^2 (II)\\
m=-24k^3(III)
\end{cases}[/tex3]
De (I) e (III), vem
[tex3]-9k=-24k^3\Longrightarrow 3k(8k^2-3)=0[/tex3] daí, [tex3]k=0[/tex3] ( não convém ) ou [tex3]k^2=\frac{3}{8}[/tex3]

substituindo [tex3]k^2[/tex3] em (II), teremos:
[tex3]n=26\cdot\frac{3}{8}=\frac{39}{4}[/tex3]



All you touch and all you see is all your life will ever be...

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LucasPinafi
5 - Mestre
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Out 2017 18 14:34

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por LucasPinafi »

[tex3]x^3 +m x^2 + n x + m = 0 \\ x_1 = 2k ; x_2 = 3k ; x_4 = 4k \\ x_1 + x_2 +x _3 = - m \Longrightarrow 2k + 3k + 4k = - m \Longrightarrow m = -
9 k \\ x_1 x_2 x_3 = - m \Longrightarrow (2k)(3k)(4k) =24k^3 = -m=9k \Longrightarrow 8k^3 = 3k \Longrightarrow k(8k^2 - 3 ) = 0 \begin{cases}
k = 0 \\ k^2 = \frac 3 8 \end{cases} \\ n = (2k)(3k) + (2k)(4k) + (4k)(3k) = k^2 (6+8+12) = k^2 \cdot 26 = \frac{3}{8}\cdot 26 = \frac{39} 4 [/tex3]



Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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