Ensino Médio ⇒ Equação Logarítmica (FME) Tópico resolvido

[MatheusBorges]

B.181) [tex3]\log_2({5x-2})-\log x-\log_2({x-1}) =2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2({5x-2})-\log x-\log_2({x-1}) =2[/tex3]

Resposta

---

2

[jomatlove]

Resolução:
[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}(x-1)=2+\log_{2}x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}(x-1)=2+\log_{2}x[/tex3]

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}(x-1)=\log_{2}2^{2}+\log_{2}x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}(5x-2)-\log_{2}(x-1)=\log_{2}2^{2}+\log_{2}x[/tex3]

Propriedades dos logaritmos:
[tex3]\cancel{\log_{2}}\frac{5x-2}{x-1}=\cancel{\log_{2}}4x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{\log_{2}}\frac{5x-2}{x-1}=\cancel{\log_{2}}4x[/tex3]

[tex3]\frac{5x-2}{x-1}=4x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5x-2}{x-1}=4x[/tex3]

[tex3]5x-2=4x(x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x-2=4x(x-1)[/tex3]

[tex3]5x-2=4x^{2}-4x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x-2=4x^{2}-4x[/tex3]

[tex3]4x^{2}-9x+2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^{2}-9x+2=0[/tex3]

[tex3]\Delta =(-9)^{2}-4.4.2=49[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta =(-9)^{2}-4.4.2=49[/tex3]

[tex3]x=\frac{9\pm \sqrt{49}}{2.4}=\frac{9\pm 7}{8}\rightarrow x=2\vee x=\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{9\pm \sqrt{49}}{2.4}=\frac{9\pm 7}{8}\rightarrow x=2\vee x=\frac{1}{4}[/tex3]

(não serve)

[tex3]\therefore S=\{2\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore S=\{2\}[/tex3]

[petras]

Não seria [tex3]\log_2({5x-2})-\log_{\color{red}2}{ x}-\log_2({x-1}) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2({5x-2})-\log_{\color{red}2}{ x}-\log_2({x-1}) [/tex3]

Assim teríamos:

C.E.
5x-2 > 0 --> x > 2/5
x>0
x-1>0 --> x>1

Portanto x >1

[tex3]log_2\frac{5x-2}{(x-1).x}=2\rightarrow 5x-2=4.x(x-1)\rightarrow 5x-2=4x^2-4x\rightarrow 4x^2-9x+2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_2\frac{5x-2}{(x-1).x}=2\rightarrow 5x-2=4.x(x-1)\rightarrow 5x-2=4x^2-4x\rightarrow 4x^2-9x+2=0[/tex3]

Resolvendo: x = [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

Não atende C.E ou x = 2

Portanto x=2

[MatheusBorges]

No livro está como eu escrevi mesmo pessoal, talvez seja erro de digitação por que ele ensino como vocês fizeram e cobro de outra maneira.