Ensino Médio ⇒ Continuidade de funcao

[Ronny]

Avalie a continuidade da funcao [tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

:

[tex3]f(x)=\begin{cases}
\sqrt{25-x^{2}},|x|\leq 5 \\
1,|x|>5
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\begin{cases}
\sqrt{25-x^{2}},|x|\leq 5 \\
1,|x|>5
\end{cases}[/tex3]

Tenho uma duvida, esse modulo ai de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

, nao e nenhuma armadilha? ou eu tenho que trabalhar como se fosse [tex3]x [/tex3]

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[tex3]x [/tex3]

e nao [tex3]|x|[/tex3]

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[tex3]|x|[/tex3]

?

[mcarvalho]

Boa noite.

É usado módulo aqui porque temos x² na expressão. Perceba que para a raiz estar definida, é preciso [tex3]25-x^2\ge 0\rightarrow x^2\le 25[/tex3]

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[tex3]25-x^2\ge 0\rightarrow x^2\le 25[/tex3]

e a resposta dessa inequação é [tex3]-5\le x\le 5[/tex3]

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[tex3]-5\le x\le 5[/tex3]

ou simplesmente [tex3]|x|\le 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|\le 5[/tex3]

.

Um palpite que temos é que a função poderá ser descontínua em x=5 ou x=-5. Nos outros valores ela se comportará ou como a função constante, ou como a função raiz quadrada, ambas bem definidas e contínuas.

Vamos testar o nosso palpite.

[tex3]x=5\rightarrow f(5)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=5\rightarrow f(5)=0[/tex3]

e qualquer valor ligeiramente maior será igual a 1, então tendemos a dizer que ela é descontínua. Verifiquemos:

[tex3]\lim_{x\to 5^-}f(x)=\lim_{x\to 5^-}\sqrt{25-x^2}=0\\ \lim_{x\to 5^+}f(x)=\lim_{x\to 5^+}1=1\\ \boxed{\lim_{x\to 5^-}f(x)\neq \lim_{x\to 5^+}f(x)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to 5^-}f(x)=\lim_{x\to 5^-}\sqrt{25-x^2}=0\\ \lim_{x\to 5^+}f(x)=\lim_{x\to 5^+}1=1\\ \boxed{\lim_{x\to 5^-}f(x)\neq \lim_{x\to 5^+}f(x)}[/tex3]

E estávamos certos.

Para verificar em x=-5 o raciocínio é análogo.