Ensino Médio ⇒ Sistema de Equação exponencial e logaritmica(FME) Tópico resolvido

[MatheusBorges]

B.165[tex3]\begin{cases}
64^{2x}+64^{2y}=40 \\
64^{x+y}=12
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
64^{2x}+64^{2y}=40 \\
64^{x+y}=12
\end{cases}[/tex3]

Resposta

---

[tex3](\log_64{6},\frac{1}{6})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\log_64{6},\frac{1}{6})[/tex3]

[,([tex3]\frac{1}{6},\log_64{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{6},\log_64{6}[/tex3]

)

[MatheusBorges]

[tex3]64^{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]64^{x}[/tex3]

=a
[tex3]64^{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]64^{y}[/tex3]

=b(II)

[tex3]a^{2}+b^{2} = 40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+b^{2} = 40[/tex3]

[tex3]a.b = 12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a.b = 12[/tex3]

[tex3]a = \frac{12}{b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = \frac{12}{b}[/tex3]

[tex3]b^{4}-40b^{2}+144[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{4}-40b^{2}+144[/tex3]

=0 fazendo [tex3]b^{2} = f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2} = f[/tex3]

[tex3]f^{2}-40f+144\rightarrow \Delta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f^{2}-40f+144\rightarrow \Delta [/tex3]

=1024
f1=6 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

b=[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Devido a (II)
f2=36 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

b=6 Devido a (II)

[tex3]64^{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]64^{y}[/tex3]

=6 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

y=[tex3]\log_{64}6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{64}6[/tex3]

[tex3]64^{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]64^{y}[/tex3]

= [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

y=[tex3]\log_{64}\sqrt{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{64}\sqrt{6}[/tex3]

substituindo o B acha o x

O problema é por que [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

é rejeitada?

[snooplammer]

[tex3]a.b = 12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a.b = 12[/tex3]

Acho que o erro está nessa linha, pois se você fala que 64^x=a e 64^y=b
nessa linha a.b=12 você fala que 64^x+y=12 e não 64^xy

64^xy=(64^x)^y

[MatheusBorges]

Transcrevi errado, desculpe.

[snooplammer]

As raízes da equação biquadrada são +-6 e +-2. Como o logaritmando deve ser positivo logo 6 e 2 são as raízes que irá usar

Substitui 2 e 6 no sistema e veja que o a pode assumir o valor de 2 e 6 também

Usando [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

=2 vai achar y=1/6

Agora é só substituir [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

por 6 e fazer manipulações algébricas

Depois vai ter que usar [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

=6 e [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

=2

e essas serão as 2 soluções reais

[MatheusBorges]

As raízes são 36 e 4 na verdade, obrigado!

[snooplammer]

As raízes são 36 e 4 na verdade, obrigado!

Sim, mas da equação quadrática, na biquadratica as raízes vão ser as raizes
quadradas de 36 e 4 que é +-2 e +-6

Espero que tenha ajudado.