Ensino Médio ⇒ Limite de funcao Tópico resolvido

[Ronny]

Calcule o seguinte Limite:

[tex3]lim_{x\rightarrow \pi } [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{x\rightarrow \pi } [/tex3]

[tex3]\frac{sin(mx)}{sin(nx)} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sin(mx)}{sin(nx)} [/tex3]

GABARITO: [tex3](-1)^{m-n}.m/n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1)^{m-n}.m/n[/tex3]

[Ronny]

Alguem por Favor?! Gostaria Muito de saber como resolver esse limite.

[undefinied3]

[tex3]y=x-\pi \rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=x-\pi \rightarrow[/tex3]

[tex3]x \rightarrow \pi \iff y \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \rightarrow \pi \iff y \rightarrow 0[/tex3]

[tex3]\frac{sen(mx)}{sen(nx)}=\frac{sen(my+m\pi)}{sen(ny+n\pi)}=\frac{sen(my)cos(m\pi)+sen(m\pi)cos(my)}{sen(ny)cos(n\pi)+sen(n\pi)cos(ny)}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sen(mx)}{sen(nx)}=\frac{sen(my+m\pi)}{sen(ny+n\pi)}=\frac{sen(my)cos(m\pi)+sen(m\pi)cos(my)}{sen(ny)cos(n\pi)+sen(n\pi)cos(ny)}=[/tex3]

[tex3]\frac{(-1)^msen(my)}{(-1)^nsen(ny)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(-1)^msen(my)}{(-1)^nsen(ny)}[/tex3]

, pois [tex3]sen(k\pi)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(k\pi)=0[/tex3]

[tex3]lim_{y \rightarrow 0} \frac{(-1)^msen(my)}{(-1)^nsen(ny)} = (-1)^{m-n} \frac{sen(my)}{my}.\frac{ny}{sen(ny)}.\frac{my}{ny}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim_{y \rightarrow 0} \frac{(-1)^msen(my)}{(-1)^nsen(ny)} = (-1)^{m-n} \frac{sen(my)}{my}.\frac{ny}{sen(ny)}.\frac{my}{ny}[/tex3]

[tex3]= (-1)^{m-n}*1*1*\frac{m}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= (-1)^{m-n}*1*1*\frac{m}{n}[/tex3]

[Ronny]

Vc 'e o Cara mano !!..

So fiquei com uma duvida, por que nos estamos pondo (-1) ELEVADO a m e a n, por que fica elevado?

[undefinied3]

Porque cos(kpi) pode ser 1 ou -1, dependendo da paridade de k. Se for cos(0*pi), cos(2pi), etc, da 1. Se for cos(pi), cos(3pi), etc, da negativo. Então, em suma, podemos substituir por [tex3](-1)^k[tex3][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1)^k[tex3][/tex3]

[LucasPinafi]

[tex3]\lim_{ x \to \pi} \frac{\sen (mx )}{\sen (nx ) } = \lim_{ x \to \pi} \frac{m \cos (mx )}{n \cos (nx)} = \frac{m (-1)^m}{n(-1)^n}=
\frac{m}{n}(-1)^{m-n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{ x \to \pi} \frac{\sen (mx )}{\sen (nx ) } = \lim_{ x \to \pi} \frac{m \cos (mx )}{n \cos (nx)} = \frac{m (-1)^m}{n(-1)^n}=
\frac{m}{n}(-1)^{m-n}[/tex3]

[Ronny]

Chefe Lucas, por gentileza, como e que occoreu a transformacao? m.cos(mx)?