Ensino Médio ⇒ Equação - Arranjo simples Tópico resolvido

[leomaxwell]

Resolva a equação:
[tex3]A_{n+1,6}-55A_{n-1,4}=7A_{n,5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{n+1,6}-55A_{n-1,4}=7A_{n,5}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]S=\{11\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{11\}[/tex3]

[Optmistic]

Vamos lá !

A n+1 , 6 - 55 . A n-1 , 4 = 7 . A n,5

(n+1)!/(n+1-6)! - 55. (n-1)!/(n-1-4) = 7. n!/(n-5)!

(n+1)!/(n-5)! - 55. (n-1)!/(n-5)! = 7. n!/(n-5)!

Elimino todos os /(n-5)! ...

(n+1)! - 55.(n-1)! = 7.n!

- 55.(n-1)! = 7.n! - (n+1)!

- 55 = 7.n!/(n-1)! - (n+1)/(n-1)

Desenvolvendo os fatoriais ...

- 55 = 7 . n.(n-1)!/(n-1)! - (n+1).n.(n-1)!/(n-1)!

Elimino os (n-1)! ...

- 55 = 7 . n - (n+1).n

- 55 = 7n - (n² + n)

- 55 = 7n - n² - n

- 55 = 6n - n²

n² - 6n - 55 = 0

delta = 36 + 220
delta = 256

n = (6 +- raiz 256)/2

Desconsidero o - raiz 256 ...

n = ( 6 + raiz 256)/ 2

n = (6 + 16)/2

n = 22/2

n = 11

S = { 11 }

Dúvidas ?

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[danjr5]

Resolva a equação:
[tex3]A_{n+1.6}-55A_{n-1,4}=7A_{n,5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{n+1.6}-55A_{n-1,4}=7A_{n,5}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]S=\{11\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{11\}[/tex3]

Olá leomaxwell!

Desenvolvendo,

[tex3]\\ \mathsf{A_{n + 1, 6} - 55 \cdot A_{n - 1, 4} = 7 \cdot A_{n, 5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{A_{n + 1, 6} - 55 \cdot A_{n - 1, 4} = 7 \cdot A_{n, 5}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - 6)!} - 55 \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - 4)!} = 7 \cdot \frac{n!}{(n - 5)!}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - 6)!} - 55 \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - 4)!} = 7 \cdot \frac{n!}{(n - 5)!}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\frac{(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!}{(n - 5)!} - \frac{55(n - 1)!}{(n - 5)!} = \frac{7n \cdot (n - 1)!}{(n - 5)!}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!}{(n - 5)!} - \frac{55(n - 1)!}{(n - 5)!} = \frac{7n \cdot (n - 1)!}{(n - 5)!}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \cdot \left [ (n + 1)n - 55 - 7n \right] = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \cdot \left [ (n + 1)n - 55 - 7n \right] = 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \cdot \left (n^2 + n - 55 - 7n \right) = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \cdot \left (n^2 + n - 55 - 7n \right) = 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \cdot \left (n^2 - 6n - 55 \right) = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \cdot \left (n^2 - 6n - 55 \right) = 0}[/tex3]

Tendo em vista que [tex3]\mathbf{0! = 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbf{0! = 1}[/tex3]

, fica fácil notar que [tex3]\mathbf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \neq 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbf{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!} \neq 0}[/tex3]

. Com efeito,

[tex3]\mathsf{\left (n^2 - 6n - 55 \right) = \frac{0}{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\left (n^2 - 6n - 55 \right) = \frac{0}{\frac{(n - 1)!}{(n - 5)!}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{n^2 - 6n - 55 = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{n^2 - 6n - 55 = 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(n - 11)(n + 5) = 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{(n - 11)(n + 5) = 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S = \{ - 5, 11 \}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S = \{ - 5, 11 \}}[/tex3]

Entretanto, devemos ter [tex3]\mathbf{n \in \mathbb{N}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbf{n \in \mathbb{N}}[/tex3]

.

Isto posto, podemos concluir que [tex3]\boxed{\mathsf{n = 11}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\mathsf{n = 11}}[/tex3]

.