Ensino Médio ⇒ Probabilidade Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2017
02
16:11
Probabilidade
Para um torneio de futebol, 24 países são divididos em 6 grupos, com 4 cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, qual a probabilidade de que 2 países determinados A e B estejam no mesmo grupo?
Out 2017
02
17:19
Re: Probabilidade
Como cada grupo tem 4 times ...
O time A vai cair em um grupo x qualquer ...
Então restará 23 times ...
Como no grupo x já tem o time A...
restará 3 lugares para o grupo x,
Então a chance do time B cair no grupo x é de 3 em 23
Então a probabilidade é de :
P=3/23 ou aproximadamente 13,04 % .
O time A vai cair em um grupo x qualquer ...
Então restará 23 times ...
Como no grupo x já tem o time A...
restará 3 lugares para o grupo x,
Então a chance do time B cair no grupo x é de 3 em 23
Então a probabilidade é de :
P=3/23 ou aproximadamente 13,04 % .
" A dúvida é o sinônimo do saber ! " 
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joaopcarv 
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Out 2017
02
17:58
Re: Probabilidade
Digamos que os grupos sejam [tex3]a, b, c, d, e, f[/tex3]
.
Para o espaço amostral (casos totais) [tex3]\rightarrow[/tex3]
Vamos combinar todos os times, [tex3]4[/tex3] a [tex3]4[/tex3] , até agrupar todos os times.
Combinando desde [tex3]24[/tex3] , [tex3]4[/tex3] a [tex3]4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(24,4)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)} \ \cdot \cancelto{1}{C_{(4,4)}}[/tex3]
Mas veja que a permutação externa dos grupos [tex3]a, b, c, d, e, f[/tex3] não nos interessa (temos que descontar isso). Logo, o espaço amostral [tex3](\Omega)[/tex3] é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\Omega \ = \frac{C_{(24,4)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{\underbrace{6!}_{permutações \ internas \ dos \ grupos}}[/tex3]
Para os casos favoráveis [tex3]\rightarrow[/tex3]
Pegamos os dois times [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] para o mesmo grupo. Sobram [tex3]22[/tex3] times para as [tex3]2[/tex3] vagas restantes e mais os outros chaveamentos. Mas, novamente, devemos eliminar permutações externas. Porém, vamos fixar o grupo onde sai [tex3]AB[/tex3] e retirar a permutação dos outros grupos;
[tex3]n \ = \ \frac{\underbrace{\ \cdot C_{(22,2)}}_{para \ compor \ o \ restante \ do \ grupo} \ \cdot C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)} \ \cdot \cancelto{1}{C_{(4,4)}}}{6!} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]n \ = \ \frac{C_{(22,2)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{5!}[/tex3]
A probabilidade [tex3]p \ = \ \frac{n}{\Omega}[/tex3] fica [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{\frac{C_{(22,2)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{5!}}{\frac{C_{(24,4)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{6!}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{ C_{(22,2)} \ \cdot \ \cancel{C_{(20,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(16,4)}} \ \cdot \cancel{C_{(12,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(8,4)}}}{\cancel{5!}} \ \cdot \ \frac{6 \ \cdot \cancel{5!}}{C_{(24,4)} \ \cdot \ \cancel{C_{(20,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(16,4)}} \ \cdot \cancel{C_{(12,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(8,4)}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \frac{6 \ \cdot C_{(22,2)}}{C_{(24,4)}}[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{\frac{6 \ \cdot \ 22!}{\cancel{20!} \ \cdot \ 2!}}{\frac{24!}{\cancel{20!} \ \cdot \ 4!}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{\frac{6 \ \cdot \ \cancel{22 \ \cdot \ 21}}{2}}{\frac{\cancel{24} \ \cdot \ 23 \ \cdot \cancel{22 \ \cdot \ 21}}{\cancel{4!}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{p \ = \ \frac{3}{23}}}[/tex3]
Para o espaço amostral (casos totais) [tex3]\rightarrow[/tex3]
Vamos combinar todos os times, [tex3]4[/tex3] a [tex3]4[/tex3] , até agrupar todos os times.
Combinando desde [tex3]24[/tex3] , [tex3]4[/tex3] a [tex3]4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(24,4)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)} \ \cdot \cancelto{1}{C_{(4,4)}}[/tex3]
Mas veja que a permutação externa dos grupos [tex3]a, b, c, d, e, f[/tex3] não nos interessa (temos que descontar isso). Logo, o espaço amostral [tex3](\Omega)[/tex3] é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\Omega \ = \frac{C_{(24,4)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{\underbrace{6!}_{permutações \ internas \ dos \ grupos}}[/tex3]
Para os casos favoráveis [tex3]\rightarrow[/tex3]
Pegamos os dois times [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] para o mesmo grupo. Sobram [tex3]22[/tex3] times para as [tex3]2[/tex3] vagas restantes e mais os outros chaveamentos. Mas, novamente, devemos eliminar permutações externas. Porém, vamos fixar o grupo onde sai [tex3]AB[/tex3] e retirar a permutação dos outros grupos;
[tex3]n \ = \ \frac{\underbrace{\ \cdot C_{(22,2)}}_{para \ compor \ o \ restante \ do \ grupo} \ \cdot C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)} \ \cdot \cancelto{1}{C_{(4,4)}}}{6!} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]n \ = \ \frac{C_{(22,2)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{5!}[/tex3]
A probabilidade [tex3]p \ = \ \frac{n}{\Omega}[/tex3] fica [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{\frac{C_{(22,2)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{5!}}{\frac{C_{(24,4)} \ \cdot \ C_{(20,4)} \ \cdot \ C_{(16,4)} \ \cdot C_{(12,4)} \ \cdot \ C_{(8,4)}}{6!}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{ C_{(22,2)} \ \cdot \ \cancel{C_{(20,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(16,4)}} \ \cdot \cancel{C_{(12,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(8,4)}}}{\cancel{5!}} \ \cdot \ \frac{6 \ \cdot \cancel{5!}}{C_{(24,4)} \ \cdot \ \cancel{C_{(20,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(16,4)}} \ \cdot \cancel{C_{(12,4)}} \ \cdot \ \cancel{C_{(8,4)}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \frac{6 \ \cdot C_{(22,2)}}{C_{(24,4)}}[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{\frac{6 \ \cdot \ 22!}{\cancel{20!} \ \cdot \ 2!}}{\frac{24!}{\cancel{20!} \ \cdot \ 4!}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]p \ = \ \frac{\frac{6 \ \cdot \ \cancel{22 \ \cdot \ 21}}{2}}{\frac{\cancel{24} \ \cdot \ 23 \ \cdot \cancel{22 \ \cdot \ 21}}{\cancel{4!}}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{p \ = \ \frac{3}{23}}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Seg 02 Out, 2017 23:59). Total de 3 vezes.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
Out 2017
02
19:32
Re: Probabilidade
Oi João, tudo bem ?
Quando você contou os casos favoráveis, fixando AB, você multiplicou por 3!. Isso foi para considerar a permutação dos países no grupo ?
Quando você contou os casos favoráveis, fixando AB, você multiplicou por 3!. Isso foi para considerar a permutação dos países no grupo ?
Out 2017
02
19:46
Re: Probabilidade
E como seria se, em vez de grupos genéricos (não importando as permutações) fossem classificados os grupos 1, 2, 3, 4. 5 e 6, cada um com um nome distinto? A e B devem estar juntos em um grupo qualquer.
Out 2017
02
19:47
Re: Probabilidade
Superaks, acho que o João confundiu-se ao fazer isso.
O resultado deu certo pois o 3! corta com o 6 do 6.5.4.3.2.1 do denominador, deixando assim a expressão correta.
Não deveria ter-se multiplicado por 3!, ao passo que deveria ter-se dividido apenas por 5!, visto que o grupo que já possui os termos fixos A e B não permuta com os outros. Somente 5 grupos permutam entre si.
O resultado deu certo pois o 3! corta com o 6 do 6.5.4.3.2.1 do denominador, deixando assim a expressão correta.
Não deveria ter-se multiplicado por 3!, ao passo que deveria ter-se dividido apenas por 5!, visto que o grupo que já possui os termos fixos A e B não permuta com os outros. Somente 5 grupos permutam entre si.
Out 2017
02
19:57
Re: Probabilidade
"E como seria se, em vez de grupos genéricos (não importando as permutações) fossem classificados os grupos 1, 2, 3, 4. 5 e 6, cada um com um nome distinto? A e B devem estar juntos em um grupo qualquer."
O espaço amostral seria o mesmo, porém sem a divisão por 6!.
Os casos favoráveis seriam dados por C6,1 para escolher um grupo para fixar os termos A e B e C22,2 para escolher seus companheiros de grupo.
Além de C20,4 . C16,4 . C12,4 . C8,4.
Estou certo?
O espaço amostral seria o mesmo, porém sem a divisão por 6!.
Os casos favoráveis seriam dados por C6,1 para escolher um grupo para fixar os termos A e B e C22,2 para escolher seus companheiros de grupo.
Além de C20,4 . C16,4 . C12,4 . C8,4.
Estou certo?
Out 2017
02
19:59
Re: Probabilidade
Note João que o grupo que tem AB, não permutara com os demais. Então você só precisa desordenar os 5 restantes
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