Ensino MédioÁrea Total de um Tetraedro Regular Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
ismaelmat
Imperial
Mensagens: 531
Registrado em: Seg 11 Jul, 2016 11:04
Última visita: 29-01-24
Out 2017 01 10:12

Área Total de um Tetraedro Regular

Mensagem não lida por ismaelmat »

50.497-Um tetraedro regular tem altura 4 [tex3]\sqrt{6}[/tex3] cm. Calcule a área total desse tetraedro.

Gabarito:
Resposta

144 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm2




Avatar do usuário
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 588
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 16-02-24
Localização: Osasco-SP
Out 2017 01 10:50

Re: Área Total de um Tetraedro Regular

Mensagem não lida por joaopcarv »

Observe o anexo [tex3]\rightarrow[/tex3]
tetraedoregular.jpg
tetraedoregular.jpg (51.85 KiB) Exibido 1512 vezes
Um tetraedro regular é composto por [tex3]4[/tex3] triângulos equiláteros idênticos. A altura do mesmo é fincada no "centro" da base (que pode ser qualquer uma das faces, devido à rotação possível já que as faces são iguais).

Sendo a base um [tex3]\Delta[/tex3] equilátero, a altura se finca no centro de massa do polígono, que é ao mesmo tempo baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro,

Como é baricentro E ortocentro, o centro corta a altura em [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] . O segmento rosa pontilhado do triângulo destacado é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da altura da base. Chamando de [tex3]l[/tex3] os lados desse tetraedro :

[tex3]Seg. rosa \ = \ \frac{2}{3} \ . \ H_{(\Delta \ eq)}[/tex3]

[tex3]Seg. rosa \ = \ \frac{\cancel{2}}{3} \ . \ \frac{l \ . \ \sqrt{3}}{\cancel{2}}[/tex3]

[tex3]Seg. rosa \ = \ \frac{l \ . \ \sqrt{3}}{3}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Segmento rosa do triângulo destacado !

Como é um tetraedro regular, o segmento amarelo também é um lado l. Como altura do tetraedro(segmento azul pontilhado) [tex3]\perp[/tex3] plano da base, Pitágoras no triângulo destacado [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]l^2 \ = \ (\frac{l \ . \ \sqrt{3}}{3})^2 \ + \ H^2[/tex3]

[tex3]l^2 \ = \ \frac{l^2}{3} \ + \ (4 \ . \ \sqrt{6})^2[/tex3]

[tex3]l^2 \ - \ \frac{l^2}{3} \ = \ 96[/tex3]

[tex3]\frac{2 \ . \ l^2}{3} \ = \ 96[/tex3]

[tex3]l^2 \ = \ \frac{3}{2} \ . \ 96[/tex3]

[tex3]l^2 \ = \ 144[/tex3]

[tex3]l \ = \ \sqrt{144}[/tex3]

[tex3]l \ = \ 12 \ m[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Lados desse tetraedro ! (só raiz positiva porque é medida)

Como todas as faces são iguais, a área total é [tex3]4 \ . [/tex3] a área do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero de lado [tex3]l \ = \ 12 \
m[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_t \ = \ 4 \ . \ \frac{l^2 \ . \ \sqrt{3}}{4} \ \rightarrow \ l \ = \ 12 \ m :[/tex3]

[tex3]A_t \ = \ \cancel{4} \ . \ \frac{12^2 \ . \ \sqrt{3}}{\cancel{4}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{A_t \ = \ 144 \ . \ \sqrt{3} \ m^2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Área total desse tetraedro regular !



That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”