Observe o esquema [tex3]\rightarrow[/tex3]
- piramide.jpg (50.08 KiB) Exibido 2405 vezes
A base dessa
pirâmide regular é um
triângulo equilátero.
Sendo a pirâmide regular, a altura da mesma (
segmento vermelho pontilhado) é fincada no "centro" da base.
Sendo um triângulo equilátero, esse centro é, ao mesmo tempo, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro. Mas o mais importante, neste caso, é que ele é o
baricentro (encontro das medianas) e o ortocentro (encontro das alturas).
O baricentro tem a propriedade de cortar a mediana em [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
e [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
. Ou seja, o segmento
verde pontilhado são os [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
da mediana (por obviamente ser maior).
Além disso, como baricentro [tex3]=[/tex3]
ortocentro no [tex3]\Delta[/tex3]
equilátero, o mesmo segmento é também [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
da altura do [tex3]\Delta[/tex3]
equilátero. Vamos chamar o lado desse [tex3]\Delta[/tex3]
equilátero de [tex3]l[/tex3]
.
[tex3]Segmento \ verde \ = \ \frac{2}{3} \ . \ H_{(\Delta \ eq)}[/tex3]
[tex3]Segmento \ verde \ = \ \frac{\cancel{2}}{3} \ . \ \frac{l \ . \ \sqrt{3}}{\cancel{2}}[/tex3]
[tex3]Segmento \ verde \ = \ \frac{l \ . \ \sqrt{3}}{3}[/tex3]
Como altura [tex3]\perp[/tex3]
plano da base, podemos fazer um Pitágoras no triângulo destacado,em que o segmento azul é a aresta lateral de [tex3]2 \ . \ l[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3](Seg. \ azul)^2 \ = \ (Seg. \ verde)^2 \ + \ H^2[/tex3]
[tex3](2 \ . \ l)^2 \ = \ (\frac{l \ . \ \sqrt{3}}{3})^2 \ + \ 3^2[/tex3]
[tex3]4 \ . \ l^2 \ = \ \frac{l^2}{3} \ + \ 9[/tex3]
[tex3]4 \ . \ l^2 \ - \ \frac{l^2}{3} \ = \ 9[/tex3]
[tex3]\frac{12 \ . \ l^2}{3} \ - \ \frac{l^2}{3} \ = \ 9[/tex3]
[tex3]11 \ . \ l^2 \ = \ 9 \ . \ 3[/tex3]
[tex3]11 \ . \ l^2 \ = \ 27[/tex3]
[tex3]l^2 \ = \ \frac{27}{11}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{l \ = \ \sqrt{\frac{27}{11}} \ |u|}}[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
Lado da base dessa pirâmide !
(só raiz positiva, pois é medida!)
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP