Ensino Médio

48.497-Em uma pirâmide triangular regular com 3m de altura, cada aresta lateral mede o dobro da medida de cada aresta da base. Calcule a medida de cada aresta da base dessa pirâmide.

Gabarito:

Resposta

[tex3]\sqrt{27/11}[/tex3] m

Observe o esquema [tex3]\rightarrow[/tex3]

: piramide.jpg (50.08 KiB) Exibido 2404 vezes

A base dessa pirâmide regular é um triângulo equilátero.

Sendo a pirâmide regular, a altura da mesma (segmento vermelho pontilhado) é fincada no "centro" da base.

Sendo um triângulo equilátero, esse centro é, ao mesmo tempo, o baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro. Mas o mais importante, neste caso, é que ele é o baricentro (encontro das medianas) e o ortocentro (encontro das alturas).

O baricentro tem a propriedade de cortar a mediana em [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] . Ou seja, o segmento verde pontilhado são os [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da mediana (por obviamente ser maior).

Além disso, como baricentro [tex3]=[/tex3] ortocentro no [tex3]\Delta[/tex3] equilátero, o mesmo segmento é também [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] da altura do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero. Vamos chamar o lado desse [tex3]\Delta[/tex3] equilátero de [tex3]l[/tex3] .

[tex3]Segmento \ verde \ = \ \frac{2}{3} \ . \ H_{(\Delta \ eq)}[/tex3]

[tex3]Segmento \ verde \ = \ \frac{\cancel{2}}{3} \ . \ \frac{l \ . \ \sqrt{3}}{\cancel{2}}[/tex3]

[tex3]Segmento \ verde \ = \ \frac{l \ . \ \sqrt{3}}{3}[/tex3]

Como altura [tex3]\perp[/tex3] plano da base, podemos fazer um Pitágoras no triângulo destacado,em que o segmento azul é a aresta lateral de [tex3]2 \ . \ l[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3](Seg. \ azul)^2 \ = \ (Seg. \ verde)^2 \ + \ H^2[/tex3]

[tex3](2 \ . \ l)^2 \ = \ (\frac{l \ . \ \sqrt{3}}{3})^2 \ + \ 3^2[/tex3]

[tex3]4 \ . \ l^2 \ = \ \frac{l^2}{3} \ + \ 9[/tex3]

[tex3]4 \ . \ l^2 \ - \ \frac{l^2}{3} \ = \ 9[/tex3]

[tex3]\frac{12 \ . \ l^2}{3} \ - \ \frac{l^2}{3} \ = \ 9[/tex3]

[tex3]11 \ . \ l^2 \ = \ 9 \ . \ 3[/tex3]

[tex3]11 \ . \ l^2 \ = \ 27[/tex3]

[tex3]l^2 \ = \ \frac{27}{11}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{l \ = \ \sqrt{\frac{27}{11}} \ |u|}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Lado da base dessa pirâmide ! (só raiz positiva, pois é medida!)

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Pirâmide Triangular - Calcular Aresta da Base

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