Ensino Médio ⇒ Trigonometria

[jomatlove]

Calcule [tex3]\tg(\alpha +\beta )[/tex3]

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[tex3]\tg(\alpha +\beta )[/tex3]

,se [tex3]\sen\alpha +\sen\beta =\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\sen\alpha +\sen\beta =\frac{1}{4}[/tex3]

e [tex3]\cos\alpha+\cos\beta =\frac{1}{3} [/tex3]

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[tex3]\cos\alpha+\cos\beta =\frac{1}{3} [/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{24}{7}[/tex3]

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[tex3]\frac{24}{7}[/tex3]

[Andre13000]

Tem um jeito feioso de resolver esse problema que consiste em elevar as duas equações ao quadrado e somá-las, e alternativamente multiplicá-las. É claro que isso dá um trabalhão, mas é viável. Vou demonstrar um método mais sucinto.

[tex3]z_1=\cis\alpha\\
z_2=\cis\beta\\
z_1+z_2=\cis\alpha+\cis\beta=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}i=r\cis\gamma[/tex3]

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[tex3]z_1=\cis\alpha\\
z_2=\cis\beta\\
z_1+z_2=\cis\alpha+\cis\beta=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}i=r\cis\gamma[/tex3]

Agora veja: tínhamos dois números complexos com módulo 1 e somamos, sendo que cada um tinha um argumento diferente. É fácil ver que o argumento resultante será [tex3]\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex3]

. Portanto:

[tex3]\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}\\
r\cis\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{1}{3}+i\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\left(\frac{4}{5}+i\frac{3}{5}\right)\\
\cis\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{4}{5}+i\frac{3}{5}\\
\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{4}{5}\\
\sen\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{3}{5}\\
\cos \left(\alpha+\beta\right)=\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sen^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{7}{25}\\
\sen(\alpha+\beta)=2\sen \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{24}{25}\\
\tg (\alpha+\beta)=\frac{24}{7}[/tex3]

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[tex3]\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}\\
r\cis\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{1}{3}+i\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\left(\frac{4}{5}+i\frac{3}{5}\right)\\
\cis\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{4}{5}+i\frac{3}{5}\\
\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{4}{5}\\
\sen\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{3}{5}\\
\cos \left(\alpha+\beta\right)=\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sen^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{7}{25}\\
\sen(\alpha+\beta)=2\sen \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{24}{25}\\
\tg (\alpha+\beta)=\frac{24}{7}[/tex3]

Obs: se você quisesse a diferença dos ângulos, bastaria aplicar a lei dos cossenos para achar o módulo:

[tex3]r=\frac{5}{12}=\sqrt{1+1+2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=\sqrt{4\cos^2 (\alpha-\beta)}=2\cos(\alpha-\beta)[/tex3]

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[tex3]r=\frac{5}{12}=\sqrt{1+1+2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=\sqrt{4\cos^2 (\alpha-\beta)}=2\cos(\alpha-\beta)[/tex3]

[undefinied3]

Apenas elaborando a conclusão do André quanto ao argumento da soma dos complexos, porque pra mim não foi imediato que isso ocorria até eu fazer as contas:

[tex3]cos\alpha+cos\beta+i(sen\alpha+sen\beta)=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}+i(2sen\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2})=[/tex3]

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[tex3]cos\alpha+cos\beta+i(sen\alpha+sen\beta)=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}+i(2sen\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2})=[/tex3]

[tex3]2cos\frac{\alpha-\beta}{2}(cos\frac{\alpha+\beta}{2}+isen\frac{\alpha+\beta}{2})2cos\frac{\alpha-\beta}{2}.cis(\frac{\alpha+\beta}{2})[/tex3]

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[tex3]2cos\frac{\alpha-\beta}{2}(cos\frac{\alpha+\beta}{2}+isen\frac{\alpha+\beta}{2})2cos\frac{\alpha-\beta}{2}.cis(\frac{\alpha+\beta}{2})[/tex3]

Então temos um complexo tal que
[tex3]\begin{cases}
arg(z)=\frac{\alpha+\beta}{2} \\
|z|=2cos\frac{\alpha-\beta}{2}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
arg(z)=\frac{\alpha+\beta}{2} \\
|z|=2cos\frac{\alpha-\beta}{2}
\end{cases}[/tex3]

Que bacana essa relação, nunca tinha desenvolvido pra ver que dava isso. A mais comum é a do produto de complexos resultar numa soma dos argumentos, mas a soma resultar na média eu não sabia.