Ensino Médio ⇒ (IFF 2016) Função Trigonométrica Tópico resolvido

[Camila123]

As marés são fenômenos que podem ser descritos por meio de funções trigonométricas. A função que modela a altura da maré (em metros) em função do tempo (em horas) a partir da meia noite de certo dia em uma praia do nordeste do Brasil é dada pela lei:

[tex3]f(x)=0,5+0,3\cos \left(\frac{\pi x}{6}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=0,5+0,3\cos \left(\frac{\pi x}{6}\right)[/tex3]

Considerando [tex3]0\leq x < 12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0\leq x < 12[/tex3]

. A altura máxima e mínima atingida pela maré, nesse dia, é respectivamente 0,8 m e 0,2 m sendo registradas quando o tempo corresponde, respectivamente a:

a) 0h e 6h
b) 0h e 12h
c) 1h e 6h
d) 1h e 12h
e) 6h e 12h

[fismatpina]

Altura = 0,8m

[tex3]cos(\frac{\pi x}{6}) = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(\frac{\pi x}{6}) = 1[/tex3]

[tex3]\frac{\pi x}{6} = 2K\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi x}{6} = 2K\pi [/tex3]

onde K [tex3]\in inteiros[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in inteiros[/tex3]

[tex3]x = 12K [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 12K [/tex3]

Altura = 0,2m

[tex3]cos(\frac{\pi x}{6}) = - 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(\frac{\pi x}{6}) = - 1[/tex3]

[tex3]\frac{\pi x}{6} = \pi + 2K\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi x}{6} = \pi + 2K\pi [/tex3]

onde K [tex3]\in inteiros[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in inteiros[/tex3]

[tex3]x = 6 + 12K[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 6 + 12K[/tex3]

Como o dia tem 24 horas, temos apenas dois valores possível para K:

[tex3]K = 0 => x(máx) = 0h [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K = 0 => x(máx) = 0h [/tex3]

e [tex3]x(mín) = 6h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x(mín) = 6h[/tex3]

[tex3]K = 1 => x(máx) = 12h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K = 1 => x(máx) = 12h[/tex3]

e [tex3]x(mín) = 18h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x(mín) = 18h[/tex3]

Logo a alternativa correta é a letra A

[jomatlove]

Resolução:
[tex3]\bullet f(x)=0,8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\bullet f(x)=0,8[/tex3]

(altura máxima)
[tex3]0,8=0,5+0,3\cos\(\frac{\pi x}{6}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,8=0,5+0,3\cos\(\frac{\pi x}{6}\)[/tex3]

[tex3]0,3=0,3\cos\(\frac{\pi x}{6}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,3=0,3\cos\(\frac{\pi x}{6}\)[/tex3]

[tex3]\cos\(\frac{\pi x}{6}\)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\(\frac{\pi x}{6}\)=1[/tex3]

[tex3]\frac{\pi x}{6}=0\rightarrow \boxed{x=0h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi x}{6}=0\rightarrow \boxed{x=0h}[/tex3]

[tex3]\bullet f(x)=0,2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\bullet f(x)=0,2[/tex3]

(altura mínima)
[tex3]0,2=0,5+0,3\cos\(\frac{\pi x}{6}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,2=0,5+0,3\cos\(\frac{\pi x}{6}\)[/tex3]

[tex3]-0,3=0,3\cos\frac{\pi x}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-0,3=0,3\cos\frac{\pi x}{6}[/tex3]

[tex3]\cos\frac{\pi x}{6}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\frac{\pi x}{6}=-1[/tex3]

[tex3]\frac{\pi x}{6}=\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi x}{6}=\pi [/tex3]

[tex3]\pi x=6\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi x=6\pi [/tex3]

[tex3]x=\frac{6\pi }{\pi }\rightarrow \boxed{x=6h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{6\pi }{\pi }\rightarrow \boxed{x=6h}[/tex3]

[Camila123]

Como o K deu 0 e 1?? e como eles resultaram em 0h e 12h??

[Lucabral]

jomatlove,

[tex3]cos\frac{\pi x}{6}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\frac{\pi x}{6}=-1[/tex3]

[tex3]\frac{\pi x}{6}=\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi x}{6}=\pi [/tex3]

.

Poderia explicar de onde veio esse [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

?

[fismatpina]

jomatlove,

[tex3]cos\frac{\pi x}{6}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\frac{\pi x}{6}=-1[/tex3]

[tex3]\frac{\pi x}{6}=\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi x}{6}=\pi [/tex3]

.

Poderia explicar de onde veio esse [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

?

cos [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

= -1

[fismatpina]

Como o K deu 0 e 1?? e como eles resultaram em 0h e 12h??

Não entendi sua dúvida, deixei claro ali que x = 12K

Logo se K = 0 temos x = 0 e se K = 1 temos x = 12

[Camila123]

sempre tem que existir esse K nas funções trigonométricas?

eu tinha pensado em um outro jeito do por que o deu 0h e 12h:
[tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

x/6= 1
x= 6

[tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

x/6= -1
x= -6

6+(-6)= 0h
6-(-6)= 12h

A conta poderia ser essa ao inves de usar K? meu raciocinio está certo??

[fismatpina]

sempre tem que existir esse K nas funções trigonométricas?

eu tinha pensado em um outro jeito do por que o deu 0h e 12h:
[tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

x/6= 1
x= 6

[tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

x/6= -1
x= -6

6+(-6)= 0h
6-(-6)= 12h

A conta poderia ser essa ao inves de usar K? meu raciocinio está certo??

Sempre usa o K pois podem haver mais soluções rotacionadas. Veja que nesse caso tem 2 soluções, se fosse discursiva você deveria apresentar as duas para ter a pontuação máxima. Se acostume a utilizar isso, aí você nunca mais vai esquecer soluções em equações trigonométricas!


(Obs: as duas soluções as quais me referi são (0,12) e (6,18) )

[Camila123]

ah blz obrigada! A ultima coisa que eu não tinha entendido é porque vc deu os valores possiveis para K sendo 0 e 1, por que exatamente 0 e 1??
e pq só na equação maxima coloca o K e na minima não? É uma regra?