Ensino Médio

56.479-Todas as arestas de um prisma hexagonal regular têm a mesma medida. Calcule a área total desse prisma, sabendo que seu volume é 324 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm³.

Gabarito:

Resposta

108([tex3]\sqrt{3}[/tex3] + 2) cm²

O volume será dado por [tex3]V= ah[/tex3] sendo [tex3]a[/tex3] a área da base, que é dada por [tex3]a = \frac{3\sqrt 3 \ell ^2 }{2}[/tex3] . Agora, como [tex3]h = \ell[/tex3] (pois foi dado no enunciado), segue que:
[tex3]324 \sqrt 3 = \frac{3\sqrt 3 \ell^3 }{2} \therefore \ell = 6 \text{ cm} [/tex3] .
A área lateral será [tex3]A = 6 \ell^2 = 6(6^2) = 216 \text{ cm}^2[/tex3] pois é a área de 6 quadrados de lado [tex3]\ell[/tex3] .
A área da base será [tex3]2 \cdot \frac{3\sqrt 3 \ell^2}{2} = 108 \sqrt 3 \text{ cm}^2[/tex3] pois é a área de 2 hexágonos regulares de lado [tex3]\ell[/tex3] .
[tex3]A_T = 216 + 108 \sqrt 3 = 108(2+ \sqrt 3) \text{ cm}^2[/tex3]

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