Ensino Médio ⇒ Progressão aritmética Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:18124)]

Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme ilustração abaixo.

a1c4e9ff30a6c70770b764c92f07e86b.png (73.69 KiB) Exibido 2780 vezes

Assim, o número total de laranjas que compõem quinze camadas é:

a) 680
b) 1 360
c) 2 040
d) 2 720
e) 3 400

Resposta

---

b

Queria que resolvessem com as propriedades de PA e PG.

[LucasPinafi]

Na largura aumenta de 1 em 1 (começando por 2)
Na altura aumenta de 1 em 1 (começando por 1)
O número total de laranjas em cada camada é [tex3]bh[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]bh[/tex3]

.
Assim, temos que, no geral, na n-ésima camada:
[tex3]b = 2+ n [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b = 2+ n [/tex3]

[tex3]h = 1 + n [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h = 1 + n [/tex3]

[tex3]\begin{align} S & = \sum_{n = 0} ^{14} (2+n) (1+n) = \sum_{n=0}^{14} (2 +3n+n^2) =\sum_{n=0}^{14} 2 +3 \sum_{n=0}^{14} n +\sum_{n=0}^{14} n^2 \\ & = 2\cdot 15 + 3 \cdot \frac{15(0+14)}{2} + \frac{(14+1) 14(28+1)}{6} \\ & = 1360\end{align} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align} S & = \sum_{n = 0} ^{14} (2+n) (1+n) = \sum_{n=0}^{14} (2 +3n+n^2) =\sum_{n=0}^{14} 2 +3 \sum_{n=0}^{14} n +\sum_{n=0}^{14} n^2 \\ & = 2\cdot 15 + 3 \cdot \frac{15(0+14)}{2} + \frac{(14+1) 14(28+1)}{6} \\ & = 1360\end{align} [/tex3]

[Lucabral]

Tentei fazer utilizando a soma dos termos na largura e na altura e depois multiplicando os valores para achar o total de laranjas. Não achei esse valor, poderia explicar?