Um misturador tem uma capacidade de [tex3]70 [/tex3]
litros e nele ha [tex3]20 [/tex3]
litros de uma solucao sacarose. Determine uma funcao que expresse a quantidade de solucao no misturador(sem que este se transborde) em qualquer instante [tex3]t[/tex3]
, se:
[tex3]A)[/tex3]
Entra agua a razao de [tex3]4l/min[/tex3]
[tex3]B)[/tex3]
Entra agua a razao de [tex3]4l/min[/tex3]
e sai a razao de [tex3]2l/mts[/tex3]
;
[tex3]C)[/tex3]
Entra agua a razao de [tex3]4l/min[/tex3]
durante [tex3]10min[/tex3]
e entao se fecha a chave por onde esta entra.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Ensino Médio ⇒ Funcao real de variavel real Tópico resolvido
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AnthonyC
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Ago 2020
28
01:19
Re: Funcao real de variavel real
a) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3]
Primeiro vamos verificar o volume total no tanque:
Como entra [tex3]4 \text { L}[/tex3] , em [tex3]t[/tex3] minutos entram [tex3]4t[/tex3] litros, que somados com o volume inicial de [tex3]20 \text { L}[/tex3] resultam em :
[tex3]V(t)=20+4t[/tex3]
O volume não pode ultrapassar [tex3]70 \text{ L}[/tex3] , então:
[tex3]V(t)\leq 70[/tex3]
[tex3]20+4t\leq 70[/tex3]
[tex3]4t\leq 50[/tex3]
[tex3]t\le 12.5 \text { min}[/tex3]
Então o domínio da função é [tex3][0,12.5][/tex3]
Como só entra água, a quantidade inicial de sacarose se mantêm, assim, a quantidade de sacarose num dado instante é:
[tex3]S(t)=20\text { L}[/tex3]
b) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3] e sai a razão de [tex3]2~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3]
Primeiro vamos verificar o volume total no tanque:
Como entra [tex3]4 \text { L}[/tex3] e sai [tex3]2 \text { L}[/tex3] por minuto, então a cada minuto o volume aumenta em [tex3]2 \text { L}[/tex3] . Logo, em [tex3]t[/tex3] minutos, entram [tex3]2t[/tex3] litros, que somados com o volume inicial de [tex3]20 \text { L}[/tex3] resulta em :
[tex3]V(t)=20+2t[/tex3]
O volume não pode ultrapassar [tex3]70 \text{ L}[/tex3] , então:
[tex3]V(t)\leq 70[/tex3]
[tex3]20+2t\leq 70[/tex3]
[tex3]2t\leq 50[/tex3]
[tex3]t\le 25 \text { min}[/tex3]
Então o domínio da função é [tex3][0,25][/tex3]
Pra calcular a quantidade de sacarose, precisamos usar equações diferenciais. Creio que não seja possível fazer de outra forma.
A quantidade de sacarose iniciou em [tex3]S(0)=20[/tex3] . Supondo que a quantidade de sacarose que sai seja proporcional a quantidade que existe no tanque. Portanto, a variação da quantidade de sacarose num instante [tex3]t[/tex3] será igual à quantidade quantidade existente dividido pelo volume ocupado no tanque, ambos no mesmo instante [tex3]t[/tex3] :
[tex3]S'(t)=-\frac{S(t)}{V(t)}[/tex3]
O sinal negativo representa que está quantidade está sendo deduzida do total, já que ela está saindo.
Assim, temos:
[tex3]S'(t)=-\frac{S(t)}{V(t)}[/tex3]
[tex3]\frac{S'(t)}{S(t)}=-\frac{1}{V(t)}[/tex3]
[tex3]\int\frac{S'(t)}{S(t)}dt=\int-\frac{1}{V(t)}dt[/tex3]
[tex3]\ln(S(t))=-\int\frac{1}{20+2t}dt[/tex3]
[tex3]\ln(S(t))=-{1\over2}\ln(20+2t)+C[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)+C}[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)}\cdot e^C[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{\ln\([20+2t]^{-{1\over2}}\)}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)=[20+2t]^{-{1\over2}}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)={A\over \sqrt{20+2t}}[/tex3]
Pra descobrirmos [tex3]A[/tex3] , basta usar a condição inicial:
[tex3]S(0)={A\over \sqrt{20+2\cdot0}}[/tex3]
[tex3]20={A\over \sqrt{20}}[/tex3]
[tex3]20\sqrt{20}=A[/tex3]
Assim, a quantidade de sacarose após [tex3]t[/tex3] minutos é:
[tex3]S(t)={20\sqrt{20}\over \sqrt{20+2t}}[/tex3]
c) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3] durante [tex3]10 \text{ min}[/tex3] e então se fecha a chave por onde esta entra.
Aqui a quantidade também não muda, dado que apenas água entra. Então:
[tex3]S(t)=20[/tex3]
Primeiro vamos verificar o volume total no tanque:
Como entra [tex3]4 \text { L}[/tex3] , em [tex3]t[/tex3] minutos entram [tex3]4t[/tex3] litros, que somados com o volume inicial de [tex3]20 \text { L}[/tex3] resultam em :
[tex3]V(t)=20+4t[/tex3]
O volume não pode ultrapassar [tex3]70 \text{ L}[/tex3] , então:
[tex3]V(t)\leq 70[/tex3]
[tex3]20+4t\leq 70[/tex3]
[tex3]4t\leq 50[/tex3]
[tex3]t\le 12.5 \text { min}[/tex3]
Então o domínio da função é [tex3][0,12.5][/tex3]
Como só entra água, a quantidade inicial de sacarose se mantêm, assim, a quantidade de sacarose num dado instante é:
[tex3]S(t)=20\text { L}[/tex3]
b) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3] e sai a razão de [tex3]2~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3]
Primeiro vamos verificar o volume total no tanque:
Como entra [tex3]4 \text { L}[/tex3] e sai [tex3]2 \text { L}[/tex3] por minuto, então a cada minuto o volume aumenta em [tex3]2 \text { L}[/tex3] . Logo, em [tex3]t[/tex3] minutos, entram [tex3]2t[/tex3] litros, que somados com o volume inicial de [tex3]20 \text { L}[/tex3] resulta em :
[tex3]V(t)=20+2t[/tex3]
O volume não pode ultrapassar [tex3]70 \text{ L}[/tex3] , então:
[tex3]V(t)\leq 70[/tex3]
[tex3]20+2t\leq 70[/tex3]
[tex3]2t\leq 50[/tex3]
[tex3]t\le 25 \text { min}[/tex3]
Então o domínio da função é [tex3][0,25][/tex3]
Pra calcular a quantidade de sacarose, precisamos usar equações diferenciais. Creio que não seja possível fazer de outra forma.
A quantidade de sacarose iniciou em [tex3]S(0)=20[/tex3] . Supondo que a quantidade de sacarose que sai seja proporcional a quantidade que existe no tanque. Portanto, a variação da quantidade de sacarose num instante [tex3]t[/tex3] será igual à quantidade quantidade existente dividido pelo volume ocupado no tanque, ambos no mesmo instante [tex3]t[/tex3] :
[tex3]S'(t)=-\frac{S(t)}{V(t)}[/tex3]
O sinal negativo representa que está quantidade está sendo deduzida do total, já que ela está saindo.
Assim, temos:
[tex3]S'(t)=-\frac{S(t)}{V(t)}[/tex3]
[tex3]\frac{S'(t)}{S(t)}=-\frac{1}{V(t)}[/tex3]
[tex3]\int\frac{S'(t)}{S(t)}dt=\int-\frac{1}{V(t)}dt[/tex3]
[tex3]\ln(S(t))=-\int\frac{1}{20+2t}dt[/tex3]
[tex3]\ln(S(t))=-{1\over2}\ln(20+2t)+C[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)+C}[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)}\cdot e^C[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{\ln\([20+2t]^{-{1\over2}}\)}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)=[20+2t]^{-{1\over2}}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)={A\over \sqrt{20+2t}}[/tex3]
Pra descobrirmos [tex3]A[/tex3] , basta usar a condição inicial:
[tex3]S(0)={A\over \sqrt{20+2\cdot0}}[/tex3]
[tex3]20={A\over \sqrt{20}}[/tex3]
[tex3]20\sqrt{20}=A[/tex3]
Assim, a quantidade de sacarose após [tex3]t[/tex3] minutos é:
[tex3]S(t)={20\sqrt{20}\over \sqrt{20+2t}}[/tex3]
c) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3] durante [tex3]10 \text{ min}[/tex3] e então se fecha a chave por onde esta entra.
Aqui a quantidade também não muda, dado que apenas água entra. Então:
[tex3]S(t)=20[/tex3]
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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