De todos os retângulos de mesmo perímetro, o quadrado é aquele que possui maior área. Demonstre.
Se possível, gostaria de uma demonstração usando máximos e mínimos da função, porque é onde essa questão está inserida. Obrigado!
Ensino Médio ⇒ Função de segundo grau Tópico resolvido
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Set 2017
19
15:05
Função de segundo grau
Última edição: leomaxwell (Ter 19 Set, 2017 15:13). Total de 1 vez.
All you touch and all you see is all your life will ever be...
Set 2017
19
16:46
Re: Função de segundo grau
Olá você,
Supondo um retângulo de perímetro 80.Vamos analisar quais são os valores de suas dimensões que vão fornecer a área máxima.
1º Passo: Sendo x o comprimento e y a largura,então o perímetro é 2x+2y=80,simplificando x+y=40,logo y=40-x
Para o cálculo da área: A= x.y, substituindo o valor de y.
A= x.(40-x)
A=40x-x2
Colocando x em evidência: x(40-x)=0
Ou seja, x=0 ou x=40 .
No gráfico essas serão as raízes. A parábola terá concavidade para baixo e estará relacionando a dimensão x e a Área. Para alcançar a área máxima,o Xvértice pode ser obtido por uma média aritmética das raízes no caso [tex3]\frac{40+0}{2}[/tex3] =20 .
Desse modo a dimensão x do retângulo mede 20.
Substituindo na equação do perímetro x+y=40 você encontrará que y=20. Logo esse quadrilátero possuirá área máxima quando suas dimensões forem iguais,ou seja quando for um quadrado.
Espero ter ajudado.
Bjs
Supondo um retângulo de perímetro 80.Vamos analisar quais são os valores de suas dimensões que vão fornecer a área máxima.
1º Passo: Sendo x o comprimento e y a largura,então o perímetro é 2x+2y=80,simplificando x+y=40,logo y=40-x
Para o cálculo da área: A= x.y, substituindo o valor de y.
A= x.(40-x)
A=40x-x2
Colocando x em evidência: x(40-x)=0
Ou seja, x=0 ou x=40 .
No gráfico essas serão as raízes. A parábola terá concavidade para baixo e estará relacionando a dimensão x e a Área. Para alcançar a área máxima,o Xvértice pode ser obtido por uma média aritmética das raízes no caso [tex3]\frac{40+0}{2}[/tex3] =20 .
Desse modo a dimensão x do retângulo mede 20.
Substituindo na equação do perímetro x+y=40 você encontrará que y=20. Logo esse quadrilátero possuirá área máxima quando suas dimensões forem iguais,ou seja quando for um quadrado.
Espero ter ajudado.
Bjs
-Você marcha, José!
José, para onde? [Carlos Drummond de Andrade]
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