Ensino Médio ⇒ Função exponencial

[jomatlove]

Determine o conjunto imagem da função
[tex3]f(x)=\frac{3^{x}}{3^{x}+1}
,x\geq1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{3^{x}}{3^{x}+1}
,x\geq1 [/tex3]

Gabarito:[tex3][\frac{3}{4},1) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][\frac{3}{4},1) [/tex3]

[LucasPinafi]

Mesmo raciocínio da anterior. Lembre que [tex3]\frac d {dx} a^x = \frac d {dx} e^{x \ln a } = \ln a e^{x \ln a } = a^x \ln a [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac d {dx} a^x = \frac d {dx} e^{x \ln a } = \ln a e^{x \ln a } = a^x \ln a [/tex3]

;
[tex3]f' (x) = \frac{3^x (3^x + 1) \ln 3 - 3^{2x} \ln 3 }{(3^x + 1 )^2 } = \frac{3^x \ln 3 }{(3^x + 1)^2} > 0 \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f' (x) = \frac{3^x (3^x + 1) \ln 3 - 3^{2x} \ln 3 }{(3^x + 1 )^2 } = \frac{3^x \ln 3 }{(3^x + 1)^2} > 0 \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]

.
Agora, como a função nunca se anula no denominador, basta analisar o que acontece no infinito.
[tex3]\lim_{x \to \infty } \frac {3^x }{3^x + 1 } = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+1/3^x} = 1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to \infty } \frac {3^x }{3^x + 1 } = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+1/3^x} = 1 [/tex3]

;
[tex3]f(1) = \frac{3}{3+1} = \frac 3 4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1) = \frac{3}{3+1} = \frac 3 4 [/tex3]

agora veja que a função vem do 3/4 e é estritamente crescente (pois f'(x) > 0 para todo x real) e vai até 1.