Dados os ângulos [tex3]\alpha [/tex3]
e [tex3]\beta [/tex3]
tais que [tex3]\alpha [/tex3]
e [tex3]\beta [/tex3]
[tex3]\in [/tex3]
[0,[tex3]\pi [/tex3]
/2], cos [tex3]\alpha [/tex3]
= 1/2 e cos [tex3]\beta = \sqrt{3}/2[/tex3]
, resolva a equação:
sen (x-[tex3]\alpha [/tex3]
) = sen (x-[tex3]\beta [/tex3]
)
Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2017
15
11:05
Re: Equação trigonométrica
[tex3]\alpha,\beta\in\[0,\frac{\pi}{2}\],\cos\alpha=\frac{1}{2},\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow\begin{cases}\alpha=\frac{\pi}{3}\\\beta=\frac{\pi}{6}\end{cases}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\sin\(x-\frac{\pi}{3}\)=\sin\(x-\frac{\pi}{6}\)[/tex3]
Daí, temos que:
[tex3]x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi-\theta\rightarrow x=\frac{(6k+5)\pi}{6}-\theta\ (I)[/tex3]
[tex3]x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi+\theta\rightarrow x=\frac{(3k+2)\pi}{3}+\theta\ (II)[/tex3]
Igualando [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]\frac{(6k+5)\pi}{6}-\theta=\frac{(3k+2)\pi}{3}+\theta\rightarrow\theta=\frac{\pi}{12}[/tex3]
Substituindo [tex3]\theta[/tex3] em [tex3](I)[/tex3] ou [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]x=\frac{(4k+3)\pi}{4}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\sin\(x-\frac{\pi}{3}\)=\sin\(x-\frac{\pi}{6}\)[/tex3]
Daí, temos que:
[tex3]x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi-\theta\rightarrow x=\frac{(6k+5)\pi}{6}-\theta\ (I)[/tex3]
[tex3]x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi+\theta\rightarrow x=\frac{(3k+2)\pi}{3}+\theta\ (II)[/tex3]
Igualando [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]\frac{(6k+5)\pi}{6}-\theta=\frac{(3k+2)\pi}{3}+\theta\rightarrow\theta=\frac{\pi}{12}[/tex3]
Substituindo [tex3]\theta[/tex3] em [tex3](I)[/tex3] ou [tex3](II)[/tex3] :
[tex3]x=\frac{(4k+3)\pi}{4}[/tex3]
Set 2017
15
16:13
Re: Equação trigonométrica
grato csmarcelo, poderia explicar
[tex3]x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi-\theta\rightarrow x=\frac{(6k+5)\pi}{6}-\theta\ (I)[/tex3]
[tex3]x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi+\theta\rightarrow x=\frac{(3k+2)\pi}{3}+\theta\ (II)[/tex3]
Normalmente desenvolveria as duas expressões mas não conhecia esse método de encontrar o ângulo comum.
Por que igualar a [tex3]\pi /2 + k\pi- \theta \ em, (I)\ e + \theta\ em (II)[/tex3]
[tex3]x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi-\theta\rightarrow x=\frac{(6k+5)\pi}{6}-\theta\ (I)[/tex3]
[tex3]x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi+\theta\rightarrow x=\frac{(3k+2)\pi}{3}+\theta\ (II)[/tex3]
Normalmente desenvolveria as duas expressões mas não conhecia esse método de encontrar o ângulo comum.
Por que igualar a [tex3]\pi /2 + k\pi- \theta \ em, (I)\ e + \theta\ em (II)[/tex3]
Set 2017
15
18:32
Re: Equação trigonométrica
Pois é. Eu comecei desenvolvendo os senos das diferenças, mas logo me toquei que havia esse caminho mais simples.
Só há duas formas de dois ângulos possuírem o mesmo seno:
1) se estiverem em quadrantes distintos, respeitando os pares (1,2) ou (3,4).
2) estando no mesmo quadrante, fazendo com que coincidam.
Obviamente, os ângulos [tex3]x-\frac{\pi}{3}[/tex3] e [tex3]x-\frac{\pi}{6}[/tex3] nunca coincidirão. Portanto, a única opção é cada um estar em um dos quadrantes dos pares mencionados em (1) e, de qualquer forma, a distância em graus de ambos os ângulos até [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3] será a mesma.
Visão gráfica do problema:
A partir do desenho concluímos que [tex3]x-\beta=\frac{\pi}{2}+\theta[/tex3]
e [tex3]x-\alpha=\frac{\pi}{2}-\theta[/tex3]
, mas também temos que considerar a situação onde [tex3]x-\beta=\frac{3\pi}{2}+\theta[/tex3]
e [tex3]x-\alpha=\frac{3\pi}{2}-\theta[/tex3]
, assim como as de todos os arcos côngruos. E é aí que o [tex3]k\pi\in\mathbb{Z}[/tex3]
entra nas expressões.
Só há duas formas de dois ângulos possuírem o mesmo seno:
1) se estiverem em quadrantes distintos, respeitando os pares (1,2) ou (3,4).
2) estando no mesmo quadrante, fazendo com que coincidam.
Obviamente, os ângulos [tex3]x-\frac{\pi}{3}[/tex3] e [tex3]x-\frac{\pi}{6}[/tex3] nunca coincidirão. Portanto, a única opção é cada um estar em um dos quadrantes dos pares mencionados em (1) e, de qualquer forma, a distância em graus de ambos os ângulos até [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3] será a mesma.
Visão gráfica do problema:
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