Ensino Médio

Mensagem não lidapor **felipef** » Seg 04 Set, 2017 18:24

Sejam [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] os pontos de interseção da reta definida por [tex3]y=-x+1[/tex3] com a circunferência de centro [tex3]O(1;2)[/tex3] e raio [tex3]2cm.[/tex3] Determine a área do triângulo [tex3]ABO[/tex3] em [tex3]cm^{2}.[/tex3]

Resposta

[tex3]2cm^{2}[/tex3]

Olá.

Primeiro acho a equação da reta perpendicular a reta de equação [tex3]y = -x + 1[/tex3] (eq1) e que passa pelo centro da circunferência (1,2), que é

[tex3]y = x + 1[/tex3] (eq2)

Em seguida, substitua (eq1) em (eq2)

[tex3]x + 1 = -x + 1[/tex3]

[tex3]2x = 0 [/tex3]

[tex3]x = 0[/tex3] (x de intersecção entre as duas retas)

Substitua em qualquer uma das eqs (1 ou 2), encontrará que [tex3]y = 1[/tex3]

Com o ponto (0,1), calcule a distância entre esse ponto e o centro da circunferência, essa distância será a altura do triângulo.

[tex3]d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}[/tex3]

Pelo teorema de Pitágoras calculamos metade da base do triângulo.

[tex3]d^2 + x^2 = 4[/tex3]

[tex3]x^2 = 4 - 2[/tex3]

[tex3]x = \sqrt{2}[/tex3]

Logo temos a área dada por

[tex3]A = \frac{2x.d}{2} = x.d = \sqrt{2}.\sqrt{2} = 2\ cm²[/tex3]

Espero ter ajudado!!

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