Boa noite senhores , poderia me ajudar num sistema de logaritmo que esta me fazendo quebrar a cabeça ???
[tex3]\begin{cases}
\log_{x}2+\log_{y}4+\log_{3}4=2 \\
\log_{y}3+\log_{3}9+\log_{x}9=2 \\
\log_{3}4+\log_{x}16+\log_{y}16=2
\end{cases}[/tex3]
Por favor, se alguém souber resolver, fico muito grato . Ja tentei de tudo ...
Ensino Médio ⇒ Sistema de logaritmo Tópico resolvido
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princeandrews 
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Set 2017
03
01:13
Sistema de logaritmo
Última edição: caju (Dom 03 Set, 2017 21:35). Total de 2 vezes.
Razão: Colocar TeX nas expressões matemáticas.
Razão: Colocar TeX nas expressões matemáticas.
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caju
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Set 2017
04
17:58
Re: Sistema de logaritmo
Olá princeandrews,
Vamos começar fatorando os números que puderem ser fatorados:
[tex3]\begin{cases}
\log_{x}2+\log_{y}2^2+\log_{3}2^2=2 \\
\log_{y}3+\log_{3}3^2+\log_{x}3^2=2 \\
\log_{3}2^2+\log_{x}2^4+\log_{y}2^4=2
\end{cases}[/tex3]
Agora vamos aplicar algumas regras de logaritmos nesse sistema:
[tex3]\begin{align}\begin{cases}
\log_{x}2+2\log_{y}2+2\log_{3}2=2 &{\color{red}\text{(I)}}\\
\log_{y}3+2\log_{3}3+2\log_{x}3=2 &{\color{red}\text{(II)}}\\
2\log_{3}2+4\log_{x}2+4\log_{y}2=2&{\color{red}\text{(III)}}
\end{cases}\end{align}
[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}\text{(III)-(I)}}[/tex3] , temos:
[tex3]\cancel{2\log_{3}2}+4\log_{x}2+4\log_{y}2-(\log_{x}2+2\log_{y}2+\cancel{2\log_{3}2})=2-2[/tex3]
[tex3]3\log_{x}2+2\log_{y}2=0[/tex3]
[tex3]3\log_{x}2=-2\log_{y}2[/tex3]
Podemos trocar a base do logaritmo pelo logaritmando, invertendo o número:
[tex3]\frac{3}{\log_{2}x}=\frac{-2}{\log_{2}y}[/tex3]
Multiplicando cruzado:
[tex3]3\log_2y=-2\log_2x[/tex3]
[tex3]\log_2y^3=\log_2x^{-2}[/tex3]
Agora podemos cortar as bases, já que são iguais:
[tex3]y^3=x^{-2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y^3x^2=1}\,\,\,\,{\color{red}\text{(IV)}}[/tex3]
Vamos trabalhar na equação II agora:
[tex3]\log_{y}3+2\log_{3}3+2\log_{x}3=2 [/tex3]
Sabendo que [tex3]\log_33=1[/tex3]
[tex3]\log_{y}3+2+2\log_{x}3=2 [/tex3]
[tex3]\log_{y}3+2\log_{x}3=0 [/tex3]
[tex3]\log_{y}3=-2\log_{x}3 [/tex3]
Trocando a base pelo logaritmando, de novo:
[tex3]\frac{1}{\log_{3}y}=\frac{-2}{\log_{3}x}[/tex3]
[tex3]\log_3x=-2\log_3y[/tex3]
[tex3]\log_3x=\log_3y^{-2}[/tex3]
Podemos cortar as bases:
[tex3]x=y^{-2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{xy^2=1}\,\,\,\,{\color{red}\text{(V)}}[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}(IV)}\div {\color{red}(V)}^2[/tex3]
[tex3]\frac{y^3x^2}{(xy^2)^2}=1[/tex3]
[tex3]\frac{y^3x^2}{x^2y^4}=1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{y=1}}[/tex3]
Substituindo esse valor de [tex3]y[/tex3] em [tex3]{\color{red}\text{(V)}}[/tex3] , temos [tex3]\boxed{\boxed{x=1}}[/tex3] .
Mas, como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são bases de logaritmos no sistema de equações original, não podem ser resposta. Ou seja, encontrei que a resposta é conjunto vazio
Será que me passei em algum cálculo aí?
Grande abraço,
Prof. Caju
Vamos começar fatorando os números que puderem ser fatorados:
[tex3]\begin{cases}
\log_{x}2+\log_{y}2^2+\log_{3}2^2=2 \\
\log_{y}3+\log_{3}3^2+\log_{x}3^2=2 \\
\log_{3}2^2+\log_{x}2^4+\log_{y}2^4=2
\end{cases}[/tex3]
Agora vamos aplicar algumas regras de logaritmos nesse sistema:
[tex3]\begin{align}\begin{cases}
\log_{x}2+2\log_{y}2+2\log_{3}2=2 &{\color{red}\text{(I)}}\\
\log_{y}3+2\log_{3}3+2\log_{x}3=2 &{\color{red}\text{(II)}}\\
2\log_{3}2+4\log_{x}2+4\log_{y}2=2&{\color{red}\text{(III)}}
\end{cases}\end{align}
[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}\text{(III)-(I)}}[/tex3] , temos:
[tex3]\cancel{2\log_{3}2}+4\log_{x}2+4\log_{y}2-(\log_{x}2+2\log_{y}2+\cancel{2\log_{3}2})=2-2[/tex3]
[tex3]3\log_{x}2+2\log_{y}2=0[/tex3]
[tex3]3\log_{x}2=-2\log_{y}2[/tex3]
Podemos trocar a base do logaritmo pelo logaritmando, invertendo o número:
[tex3]\frac{3}{\log_{2}x}=\frac{-2}{\log_{2}y}[/tex3]
Multiplicando cruzado:
[tex3]3\log_2y=-2\log_2x[/tex3]
[tex3]\log_2y^3=\log_2x^{-2}[/tex3]
Agora podemos cortar as bases, já que são iguais:
[tex3]y^3=x^{-2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y^3x^2=1}\,\,\,\,{\color{red}\text{(IV)}}[/tex3]
Vamos trabalhar na equação II agora:
[tex3]\log_{y}3+2\log_{3}3+2\log_{x}3=2 [/tex3]
Sabendo que [tex3]\log_33=1[/tex3]
[tex3]\log_{y}3+2+2\log_{x}3=2 [/tex3]
[tex3]\log_{y}3+2\log_{x}3=0 [/tex3]
[tex3]\log_{y}3=-2\log_{x}3 [/tex3]
Trocando a base pelo logaritmando, de novo:
[tex3]\frac{1}{\log_{3}y}=\frac{-2}{\log_{3}x}[/tex3]
[tex3]\log_3x=-2\log_3y[/tex3]
[tex3]\log_3x=\log_3y^{-2}[/tex3]
Podemos cortar as bases:
[tex3]x=y^{-2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{xy^2=1}\,\,\,\,{\color{red}\text{(V)}}[/tex3]
Fazendo [tex3]{\color{red}(IV)}\div {\color{red}(V)}^2[/tex3]
[tex3]\frac{y^3x^2}{(xy^2)^2}=1[/tex3]
[tex3]\frac{y^3x^2}{x^2y^4}=1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{y=1}}[/tex3]
Substituindo esse valor de [tex3]y[/tex3] em [tex3]{\color{red}\text{(V)}}[/tex3] , temos [tex3]\boxed{\boxed{x=1}}[/tex3] .
Mas, como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são bases de logaritmos no sistema de equações original, não podem ser resposta. Ou seja, encontrei que a resposta é conjunto vazio
Será que me passei em algum cálculo aí?
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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princeandrews
- Mensagens: 20
- Registrado em: Dom 03 Set, 2017 01:07
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Set 2017
05
01:22
Re: Sistema de logaritmo
Vlw mesmo , eu estava fazendo x,y juntos depois substituindo com a regra de logaritmo .. Valeu mesmo
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