Ensino MédioSoma de senos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
undefinied3
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1483
Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
Última visita: 30-09-22
Ago 2017 29 22:54

Soma de senos

Mensagem não lida por undefinied3 »

Pode-se escrever [tex3]\sen\frac{2\pi}{7}+\sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}[/tex3] como [tex3]\frac{\sqrt{a}}{b}[/tex3] com [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] inteiros e mínimos. Calcule o valor de [tex3]\sqrt{a+b}[/tex3]



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2349
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 27-03-24
Ago 2017 30 12:11

Re: Soma de senos

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Já reparou?

[tex3]\sen\frac{2\pi}{7} \cdot \sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}\cdot \sen\frac{4\pi}{7} + \sen\frac{2\pi}{7}\cdot \sen\frac{8\pi}{7} = 0[/tex3]

Talvez ajude....



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
undefinied3
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1483
Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
Última visita: 30-09-22
Ago 2017 30 12:38

Re: Soma de senos

Mensagem não lida por undefinied3 »

É um dos fatos que eu utilizo na solução que conheço, mas acho ela meio longa porque é soma de senos e não de cossenos, aí as identidades trigonométricas ficam meio zuadas... A ideia é usar [tex3]7\theta=2\pi \rightarrow 4\theta=2\pi-3\theta[/tex3] , aplicar seno dos dois lados, mas [tex3]sen(4x)[/tex3] não dá pra expressar apenas em função de sen(x), aí a gente precisa elevar ao quadrado no meio do processo e acabamos encontrando que a soma daqueles senos, mas cada um ao quadrado, é [tex3]\frac{7}{4}[/tex3] , e daí ainda por cima precisamos lançar mão dessa identidade que você disse pra concluir que o quadrado daquela soma de senos é [tex3]\frac{7}{4}[/tex3] , aí tira a raiz e mata o problema. Fica um pouco cansativo.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Avatar do usuário
fismatpina
2 - Nerd
Mensagens: 218
Registrado em: Seg 26 Jun, 2017 10:29
Última visita: 07-05-19
Ago 2017 30 12:51

Re: Soma de senos

Mensagem não lida por fismatpina »

Eu tentei multiplicar por 2sen([tex3]\pi [/tex3] /7) dos dois lados. Aí achei que a soma era igual à cot([tex3]\pi [/tex3] /7)/2 :?

Realmente a soma de senos não parece ficar tão bonita quanto a de cossenos :|
Última edição: fismatpina (Qua 30 Ago, 2017 12:52). Total de 1 vez.


Jack of all trades :wink:

Avatar do usuário
Andre13000
3 - Destaque
Mensagens: 847
Registrado em: Sáb 18 Mar, 2017 17:30
Última visita: 02-03-22
Ago 2017 30 18:45

Re: Soma de senos

Mensagem não lida por Andre13000 »

Seja [tex3]\psi=\cis \frac{2\pi}{7}[/tex3]

[tex3]S=\sen\frac{2\pi}{7}+\sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}\\
S=\frac{\psi-\psi^{-1}+\psi^2-\psi^{-2}+\psi^4-\psi^{-4}}{2i}\\
2iS=\psi+\psi^2+\psi^{4}-\psi^{-1}-\psi^{-2}-\psi^{-4}\\
\psi^7=1\\
2iS=\psi+\psi^2+\psi^4-\psi^6-\psi^5-\psi^3\\
p=\psi+\psi^2+\psi^4\\
q=\psi^6+\psi^5+\psi^3\\
1+p+q=\sum_{n=0}^6 \psi^n=\frac{\psi^7-1}{\psi-1}=0\\
p+q=-1\\
pq=\psi^4+\psi^5+\psi^6+3\psi^7+\psi^8+\psi^9+\psi^{10}\\
pq=\psi^4+\psi^5+\psi^6+3 +\psi+\psi^2+\psi^3=3+p+q=2\\
t^2+t+2=0\\
4t^2+4t+8=0\\
4t^2+4t+1=-7\\
2t+1=\pm i\sqrt{7}\\
t=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}\\
2iS=p-q>0\\
p=\frac{i\sqrt{7}-1}{2}\\
q=-\frac{i\sqrt{7}+1}{2}\\
2iS=i\sqrt{7}\\
S=\frac{\sqrt{7}}{2}\\
\sqrt{a+b}=3[/tex3]



“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem folha Poliedro IME/ITA (geometria lei dos senos e cossenos)
    por pedrocg2008 » » em Ensino Médio
    0 Respostas
    3440 Exibições
    Última msg por pedrocg2008
  • Nova mensagem Lei dos Senos
    por Medisa » » em Pré-Vestibular
    4 Respostas
    6844 Exibições
    Última msg por csmarcelo
  • Nova mensagem Teoria dos senos
    por PedroHenr » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    4063 Exibições
    Última msg por Daleth
  • Nova mensagem Senos e cossenos de 9°, 18°, 36° e 99°.
    por Pedro2801 » » em Ensino Superior
    2 Respostas
    638 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem FGV-SP Lei dos senos
    por ÁguiaB » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    414 Exibições
    Última msg por petras

Voltar para “Ensino Médio”