Ensino Médio ⇒ Polinômio gerador Tópico resolvido

[Lucabral]

Em um sistema de computação ocorre a transferência de informações em vários níveis.Os sistemas estão sujeitos a diversos erros,tais como os causados por curtos circuitos elétricos ou desgaste de componentes.Um dos métodos mais utilizados na detecção desses erros é conhecido por CRC (Cyclic Redundancy Check) que utiliza polinômios nos processos de verificação.Em uma das etapas,deve-se dividir o polinômio p(x) correspondente à mensagem a ser transferida por um polinômio g(x),chamado de polinômio gerador.Se o resto da divisão for diferente de zero,houve um erro de transmissão.
Considere que o polinômio correspondente à mensagem seja dado por p(x)=x³+mx²+nx+7,sendo m e n coeficientes reais.
Sabendo-se que o polinômio gerador é g(x)=x²+x+1,o valor de m+n para o qual não há erros de transmissão é igual a

Resposta

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[jomatlove]

Resolução:
Basta dividir p(x) por g(x) e impor resto nulo.
Pelo algoritmo da divisão:[tex3]D=d.q+r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=d.q+r[/tex3]

Sendo o resto nulo:[tex3]D=d.q\rightarrow \begin{cases}
D=dividendo \\
d=dividor \\
q=quociente
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=d.q\rightarrow \begin{cases}
D=dividendo \\
d=dividor \\
q=quociente
\end{cases}[/tex3]

Assim:
[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+7=(x^{2}+x+1)(ax+b)=ax^{3}+ax^{2}+ax+bx^{2}+bx+b=ax^{3}+(a+b)x^{2}+(a+b)x+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3}+mx^{2}+nx+7=(x^{2}+x+1)(ax+b)=ax^{3}+ax^{2}+ax+bx^{2}+bx+b=ax^{3}+(a+b)x^{2}+(a+b)x+b[/tex3]

Por comparação de polinomios:
[tex3]\begin{cases}
a=1 \\
b=7 \\
m=a+b=1+7=8 \\
n=a+b=1+7=8
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a=1 \\
b=7 \\
m=a+b=1+7=8 \\
n=a+b=1+7=8
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\therefore m+n=16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore m+n=16[/tex3]