4.43) Sendo a e b números reais quaisquer, demonstre que:
b) [tex3]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac +bc[/tex3]
Obrigado desde já!
Ensino Médio ⇒ Inequação (Aref 1) Tópico resolvido
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Ago 2017
21
13:15
Re: Inequação (Aref 1)
Resolução:
Usando a desigualdade [tex3]MA\geq MG[/tex3] ,temos:
[tex3]\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \sqrt{a^{2}.b^{2}}\rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex3]
De modo similar,obtemos:
[tex3]a^{2}+c^{2}\geq 2ac[/tex3] ;
[tex3]b^{2}+c^{2}\geq 2bc[/tex3] ;
Somando tudo:
[tex3]2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+ac+bc)\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc[/tex3]
E a igualdade ocorre para [tex3]a=b=c[/tex3]
Usando a desigualdade [tex3]MA\geq MG[/tex3] ,temos:
[tex3]\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \sqrt{a^{2}.b^{2}}\rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex3]
De modo similar,obtemos:
[tex3]a^{2}+c^{2}\geq 2ac[/tex3] ;
[tex3]b^{2}+c^{2}\geq 2bc[/tex3] ;
Somando tudo:
[tex3]2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+ac+bc)\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc[/tex3]
E a igualdade ocorre para [tex3]a=b=c[/tex3]
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Ago 2017
21
14:05
Re: Inequação (Aref 1)
Obrigado pela ajuda!!
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