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Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 16:09
por Babi123
Dada a malha quadriculada abaixo:
- Malha Quadriculada.png (6.4 KiB) Exibido 5496 vezes
Responda: Quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, existem?
Edit: Vi umas soluções desta questão, mas não fiquei satisfeita, pois elas são assim:
[tex3]C_{24}^{4}=10626[/tex3]
(Total de maneiras de escolhar quatro pontos)
Contagem indevidas:
[tex3]4\cdot C_{6}^{4}=60[/tex3]
[tex3]6\cdot C_{4}^{2}=30[/tex3]
Resposta: [tex3]10626-30-60=10536[/tex3]
.
Discordo desta resolução, primeiramente que eu não entendi esse [tex3]6\cdot C_{4}^{2}[/tex3]
, e também nessa resolução não tá contando os casos de escolher três pontos colineares de uma segmento de reta e o outro ponto fora dela. Neste casos teríamos todos os triângulos que foram contados como quadrilátero.
Alguém pode me ajudar?
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 17:50
por jedi
pois é, também não concordo com esse numero de contagens indevidas, para mim esse número é bem maior
o que eu pensei foi: cada quadrilatero é formado por dois lados verticais e dois horizontais, como temos um total de 6 linhas verticais e 4 horizontais
então combinando as linhas horizontais de duas em duas e as verticais de duas em duas teríamos
[tex3]C_{2}^{6}=15[/tex3]
[tex3]C_{2}^{4}=6[/tex3]
[tex3]6.15=90[/tex3]
para mim o total de quadrilateros seria 90
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 18:28
por Babi123
Entendi seu raciocínio
jedi, mas na sua contagem incluem casos da figura abaixor?
- Quadrilátero possibilidades.png (14.01 KiB) Exibido 5480 vezes
Ou esses tipo de quadriláteros não fazem parte? Nesse meu raciocínio teriam mais muitos outros quadriláteros: paralelogramos, trapézios...
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 22:04
por IvanFilho
Olá Babi!
No caso ''e também nessa resolução não tá contando os casos de escolher três pontos colineares de uma segmento de reta e o outro ponto fora dela'' essa contagem não pode ser feita, pois como você bem disse teríamos triângulos!
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 22:25
por jedi
IvanFilho e
Babi123
Quando eu li o enunciado eu pensei que fosse só os quadriláteros com lados sobre os traços, mas realmente tem mais quadriláteros se formos levar em conta apenas os vértices
Mas isso torna o problema bem complexo pois existem conjuntos de 4 pontos que formam mais de um quadrilátero como por exemplo os dois desenhados em vermelho e azul que compartilham os mesmos vértices
- Malha Quadriculada.png (6.96 KiB) Exibido 5463 vezes
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 22:44
por Babi123
jedi, eu pensei desse mesmo jeito, pois o problema pede quantos quadriláteros de qualquer tamanhos podem ser formados, logo nessa contagem valem todos os quadriláteros convexos e também todos os côncavos. Vou digitar meu raciocínio já já.
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 23:45
por Babi123
Babi123 escreveu: ↑Dom 20 Ago, 2017 16:09
Quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, existem?
Total de Casos (escolha de 4 pontos):
[tex3]C_{24}^{4}=10626[/tex3]
Contagens indevidas:
Caso 1 [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]4\cdot C_{6}^{4}= \boxed{60}[/tex3]
Caso 2 [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]4\cdot C_{4}^{4}=\boxed{4}[/tex3]
Caso 3 [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]4\cdot C_{6}^{3}=\boxed{80}[/tex3]
Caso 4 [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{24}[/tex3]
Caso 5 [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{24}[/tex3]
Caso 6 [tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]4\cdot C_{3}^{3}=\boxed{4}[/tex3]
Total de casos indevidos: [tex3]60+4+80+24+24+4=196[/tex3]
Portanto,
Total de quadriláteros: [tex3]10626-196=10430[/tex3]
Agora veja todos os casos ilustrados nas imagens abaixo:
Caso 1 (descrevendo duas possíveis situações):
- Caso 1.png (7.06 KiB) Exibido 5451 vezes
Caso 2 (descrevendo duas possíveis situações):
- caso 2.png (7.06 KiB) Exibido 5451 vezes
Caso 3 e 4 é análogo aos dois anteriores Caso 5 (descrevendo de algumas possíveis situações):
- Caso 5.png (17.33 KiB) Exibido 5451 vezes
Caso 6:
- Caso 6.png (17.92 KiB) Exibido 5451 vezes
Acredito que deu para entender meu raciocínio.
Re: Combinatória
Enviado: Dom 20 Ago, 2017 23:49
por Babi123
O que vcs acham?
Edit: Acho que viajei D+.
Re: Combinatória
Enviado: Seg 21 Ago, 2017 00:04
por jedi
Certo, entendi
Porém tenho algumas observações
no Caso 3
[tex3]4\cdot C_{6}^{3}=\boxed{80}[/tex3]
quando você toma 3 pontos de uma linha horizontal você precisa de mais um ponto de alguma das outras horizontais para ter uma combinação de 4 pontos, como são 18 pontos que sobram das outras linhas horizontais, o número total de combinações indevidas será
[tex3]18.4\cdot C_{6}^{3}=\boxed{1440}[/tex3]
o mesmo vale para o Caso 4
[tex3]20.6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{480}[/tex3]
Caso 5
[tex3]20.6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{480}[/tex3]
Caso 6
[tex3]21.4\cdot C_{3}^{3}=\boxed{84}[/tex3]
EDIT: tem também o caso dos 4 pontos sobre a mesma diagonal
Caso 7
[tex3]6.C_{4}^{4}=\boxed{6}[/tex3]
subtraindo de [tex3]C_{24}^{4}=10626[/tex3]
você terá todas as combinações de 4 pontos que formam um quadrilátero, porém algumas formam mais de um quadrilátero sendo assim você não terá todos os quadriláteros nessa conta.
Re: Combinatória
Enviado: Seg 21 Ago, 2017 00:10
por Babi123
Entendi
jedi, realmente não me atentei para isso.