Ensino Médio ⇒ Sistemas Lineares

[FelipeMP]

Os valores de a para os quais o sistema [tex3]\begin{cases}
a^2x+y-a^2z=0 \\
x-a^2y+z=0 \\
x+y-z=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a^2x+y-a^2z=0 \\
x-a^2y+z=0 \\
x+y-z=0
\end{cases}[/tex3]

admite outras soluções além de x=y=z=0 são:

Resposta

---

[tex3]\pm 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm 1[/tex3]

Grato desde já.

[leomaxwell]

Olá,

Perceba que trata-se de um sistema homogêneo, entao para que ele admita outras solucoes alem da trivial (x=y=z=0) o determinante dever ser diferente de 0. Assim:

[tex3]\begin{pmatrix}
a^2 & 1 & -a^2 \\
1 & -a^2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix} \neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a^2 & 1 & -a^2 \\
1 & -a^2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix} \neq 0[/tex3]

Por Sarrus encontramos:
[tex3]a^4 + 1 - a^2 +1-a^2 -a^4 \neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^4 + 1 - a^2 +1-a^2 -a^4 \neq 0[/tex3]

[tex3]-2a^2 + 2 \neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-2a^2 + 2 \neq 0[/tex3]

[tex3]2a^2\neq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a^2\neq 2[/tex3]

[tex3]a^2\neq 1\rightarrow a\neq \pm 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2\neq 1\rightarrow a\neq \pm 1[/tex3]

[FelipeMP]

leomaxwell, o determinante não precisa ser =0? Pois assim, fica p<n, dessa forma, tornando o sistema possível e indeterminado.
Se colocar o determinante diferente de zero, torna o sistema possível e determinado, com a solução trivial como única possível.
Estou enganado?

[leomaxwell]

Está certo, eu realmente me confundi, o determinante deve ser =0. Obrigado

[FelipeMP]

Por nada.
Então, a resolução é aquela, mudando, é claro, de igual pra diferente?

[leomaxwell]

Por nada.
Então, a resolução é aquela, mudando, é claro, de igual pra diferente?

Acredito que sim