Ensino Médio ⇒ Probabilidade Geométrica

[Babi123]

Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se 3 dos seus vértices, formando-se um triângulo. Qual é a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo?

[Auto Excluído (ID:12031)]

fixe o primeiro vértice [tex3]A_1[/tex3]

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[tex3]A_1[/tex3]

: tracemos o diâmetro [tex3]A_1 K[/tex3]

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[tex3]A_1 K[/tex3]

.
Ordene os outros no sentido horário [tex3]A_2,A_3,..., A_{2n+1}[/tex3]

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[tex3]A_2,A_3,..., A_{2n+1}[/tex3]

o centro só estará no triângulo se pegarmos um vértice do lado de cima de [tex3]AK[/tex3]

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[tex3]AK[/tex3]

e o outro vértice do lado de baixo de [tex3]A_k[/tex3]

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[tex3]A_k[/tex3]

ou seja: um elemento [tex3]A_i[/tex3]

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[tex3]A_i[/tex3]

tem que ter [tex3]i[/tex3]

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[tex3]i[/tex3]

em [tex3]\{2,3,4,...,n+1 \}[/tex3]

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[tex3]\{2,3,4,...,n+1 \}[/tex3]

e outro [tex3]j[/tex3]

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[tex3]j[/tex3]

em [tex3]\{n+2,...,2n+1\}[/tex3]

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[tex3]\{n+2,...,2n+1\}[/tex3]

. Não sou bom em combinatória, mas acho que esse é o começo.

Pra mim, faria sentido que fosse [tex3]\frac{{n\choose1}^2}{{2n \choose 2}} = \frac{n}{2n-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{{n\choose1}^2}{{2n \choose 2}} = \frac{n}{2n-1}[/tex3]

pensando nos trios: [tex3]A_1 A_i A_j[/tex3]

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[tex3]A_1 A_i A_j[/tex3]