Olá, primeiro vamos encontrar os lados do retângulo, como sua area é de 200m², e o lado da base tem o dobro da altura, temos:
[tex3]b.h=200m^{2}\rightarrow 2a.a=200m^{2}\rightarrow a^{2}=100\rightarrow \boxed{a=10}[/tex3]
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Trabalhando no triângulo [tex3]\overline{ABE}[/tex3]
temos que:
[tex3]\overline{AE}=\overline{AB}=10[/tex3]
Então podemos encontrar o valor de [tex3]\overline{EB}[/tex3]
por Pitágoras:
[tex3]\overline{EB}^{2}=10^{2}+10^{2}\rightarrow \overline{EB}^{2}=200 \rightarrow \boxed{\overline{EB}=10\sqrt{2}}[/tex3]
Agora vamos imaginar um triângulo [tex3]\overline{BFZ}[/tex3]
, onde [tex3]Z[/tex3]
é o ponto que se encontra na metade do segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3]
, como o ponto [tex3]F[/tex3]
do triângulo [tex3]\overline{CDF}[/tex3]
se encontra no ponto médio do segmento [tex3]\overline{BE}[/tex3]
, podemos afirmar que:
[tex3]\overline{FB}=\overline{EF}=\frac{\overline{EB}}{2}=5\sqrt{2}[/tex3]
Agora vamos encontrar o valor de [tex3]\overline{FZ}[/tex3]
usando Pitagoras:
Sabendo que [tex3]\overline{ZB}=\frac{a}{2}=5[/tex3]
[tex3]\overline{FB}^{2}=\overline{FZ}^{2}+\overline{ZB}^{2}\rightarrow (5\sqrt{2})^{2}=\overline{FZ}^{2}+5^{2}\rightarrow \overline{FZ}^{2}=25.2-25\rightarrow \boxed{\overline{FZ}=5}[/tex3]
Agora podemos encontrar facilmente a altura do triângulo [tex3]\overline{CDF}[/tex3]
, sabendo que:
[tex3]\overline{BC}=2a=20[/tex3]
A altura será:
[tex3]h=\overline{BC}-\overline{FZ}\rightarrow h=20-5\rightarrow \boxed{h=15}[/tex3]
Agora temos a base e a altura do triângulo [tex3]\overline{CDF}[/tex3]
, só jogar na fórmula:
[tex3]A=\frac{b.h}{2}\rightarrow A=\frac{10.15}{2}\rightarrow \boxed{\boxed{A=75m^{2}}}[/tex3]