Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[futuromilitar]

Demonstrar que em todo triângulo ABC vale a relação :



[tex3]a=\frac{(b-c)\cdot\cos \frac{A}{2}}{\sen\frac{B-C}{2}}[/tex3]

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[tex3]a=\frac{(b-c)\cdot\cos \frac{A}{2}}{\sen\frac{B-C}{2}}[/tex3]

, [tex3]B \neq C[/tex3]

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[tex3]B \neq C[/tex3]

.

[caju]

Olá futuromilitar,

Começamos com a lei dos senos em um triângulo:

[tex3]a=2R\cdot\sen(A)[/tex3]

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[tex3]a=2R\cdot\sen(A)[/tex3]

[tex3]b=2R\cdot\sen(B)[/tex3]

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[tex3]b=2R\cdot\sen(B)[/tex3]

[tex3]c=2R\cdot\sen(C)[/tex3]

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[tex3]c=2R\cdot\sen(C)[/tex3]

Onde [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

é o raio da circunferência circunscrita.

Pegando a primeira e dividindo pela subtração das outras duas, ficamos com:

[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\cancel{2R}\sen(A)}{\cancel{2R}\sen(B)-\cancel{2R}\sen(C)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\cancel{2R}\sen(A)}{\cancel{2R}\sen(B)-\cancel{2R}\sen(C)}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\sen(A)}{\sen(B)-\sen(C)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\sen(A)}{\sen(B)-\sen(C)}[/tex3]

Agora, sabendo que [tex3]A+B+C=180[/tex3]

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[tex3]A+B+C=180[/tex3]

, concluímos que [tex3]A=180-(B+C)[/tex3]

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[tex3]A=180-(B+C)[/tex3]

e, consequentemente, [tex3]\sen(A)=\sen(B+C)[/tex3]

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[tex3]\sen(A)=\sen(B+C)[/tex3]

Vamos aplicar prostaférese no denominador da direita [tex3]\[\sen(B)-\sen(C)=2\sen\(\frac{B-C}{2}\)\cos\(\frac{B+C}{2}\)\][/tex3]

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[tex3]\[\sen(B)-\sen(C)=2\sen\(\frac{B-C}{2}\)\cos\(\frac{B+C}{2}\)\][/tex3]

:

[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\sen(B+C)}{2\sen\(\frac{B-C}{2}\)\cos\(\frac{B+C}{2}\)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\sen(B+C)}{2\sen\(\frac{B-C}{2}\)\cos\(\frac{B+C}{2}\)}[/tex3]

Usaremos a fórmula do seno do arco duplo no numerador da direita [tex3]\[\sen(B+C)=2\sen\(\frac{B+C}{2}\)\cos\(\frac{B+C}{2}\)\][/tex3]

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[tex3]\[\sen(B+C)=2\sen\(\frac{B+C}{2}\)\cos\(\frac{B+C}{2}\)\][/tex3]

[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\cancel{2}\sen\(\frac{B+C}{2}\)\cancel{\cos\(\frac{B+C}{2}\)}}{\cancel{2}\sen\(\frac{B-C}{2}\)\cancel{\cos\(\frac{B+C}{2}\)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\cancel{2}\sen\(\frac{B+C}{2}\)\cancel{\cos\(\frac{B+C}{2}\)}}{\cancel{2}\sen\(\frac{B-C}{2}\)\cancel{\cos\(\frac{B+C}{2}\)}}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\sen\(\frac{B+C}{2}\)}{\sen\(\frac{B-C}{2}\)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\sen\(\frac{B+C}{2}\)}{\sen\(\frac{B-C}{2}\)}[/tex3]

Novamente, sabendo que [tex3]A+B+C=180[/tex3]

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[tex3]A+B+C=180[/tex3]

, concluímos que [tex3]\frac{A}{2}=90-\frac{(B+C)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{A}{2}=90-\frac{(B+C)}{2}[/tex3]

e, consequentemente, [tex3]\cos\(\frac{A}{2}\)=\sen\(\frac{B+C}{2}\)[/tex3]

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[tex3]\cos\(\frac{A}{2}\)=\sen\(\frac{B+C}{2}\)[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\cos\(\frac{A}{2}\)}{\sen\(\frac{B-C}{2}\)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{a=\frac{(b-c)\cos\(\frac{A}{2}\)}{\sen\(\frac{B-C}{2}\)}}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b-c}=\frac{\cos\(\frac{A}{2}\)}{\sen\(\frac{B-C}{2}\)}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{a=\frac{(b-c)\cos\(\frac{A}{2}\)}{\sen\(\frac{B-C}{2}\)}}}[/tex3]

Como só utilizamos regras que valem para todos os triângulos, então chegamos a uma equação que vale para todos os triângulos. Como queríamos demonstrar.

Grande abraço,
Prof. Caju