(Ufc 99) Na figura a seguir, o triângulo ABC é subdividido, em triângulos menores, pelos segmentos de reta AQ, BP e CM, sendo O o ponto de encontro
destes. Se os triângulos [tex3]AOM[/tex3]
, [tex3]AOP[/tex3]
, [tex3]BOQ[/tex3]
e [tex3]COQ[/tex3]
possuem áreas iguais a [tex3]6cm^2[/tex3]
, [tex3]4cm^2[/tex3]
, [tex3]4cm^2 [/tex3]
e [tex3]2cm^2[/tex3]
, respectivamente, determine a área do triângulo ABC.
Gabarito: [tex3]24 \ u.a[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria - Área de Triângulo Tópico resolvido
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22:27
Geometria - Área de Triângulo
Última edição: Hanon (Ter 15 Ago, 2017 22:30). Total de 1 vez.
Ago 2017
16
10:07
Re: Geometria - Área de Triângulo
Considerando a área do [tex3]\Delta _{CPO}=A[/tex3]
[tex3]S\Delta _{ABC}=16+A+B[/tex3]
Basta utilizar o teorema: Os triângulos que têm a mesma altura e bases na mesma reta suporte, têm razão entre suas áreas proporcional a razão das medidas das bases.
[tex3]\Delta _{OCB}\rightarrow \frac{2}{CQ}=\frac{4}{BQ}\rightarrow \frac{CQ}{BQ}=\frac{1}{2}(i)[/tex3]
[tex3]\Delta _{ACB}\rightarrow \frac{4+2+A}{CQ}=\frac{6+4+B}{BQ}\rightarrow \frac{6+A}{CQ}=\frac{10+B}{BQ}\rightarrow \frac{6+A}{10+B}=\frac{CQ}{BQ}[/tex3]
Substituindo (i) teremos: [tex3]\frac{6+A}{10+B}=\frac{CQ}{BQ}\rightarrow \frac{6+A}{10+B}=\frac{1}{2}\rightarrow B=2A+2 (ii)[/tex3]
[tex3]\Delta _{ACB}\rightarrow \frac{6+4+A}{AM}=\frac{2+4+B}{MB}\rightarrow \frac{10+A}{AM}=\frac{6+B}{MB}\rightarrow \frac{10+A}{6+B}=\frac{AM}{MB} (iii)[/tex3]
[tex3]\Delta _{AOB}\rightarrow \frac{6}{AM}=\frac{B}{MB}\rightarrow \frac{6}{B}=\frac{AM}{MB}(iv)[/tex3]
Substituindo (iv) em (iii) teremos: [tex3]\frac{10+A}{6+B}=\frac{AM}{MB} \rightarrow \frac{10+A}{6+B}=\frac{6}{B} \rightarrow AB+4B-36=0 (v)[/tex3]
Substituindo (ii) em (v) teremos: [tex3]AB+4B-36=0 \rightarrow A(2A+2)+4(2A+2)-36=0\rightarrow 2A^2+10A+28=0[/tex3]
Resolvendo encontraremos: A = -7 (não serve) e A = 2 portanto B = 2A+2 = 2(2)+2 = 6
[tex3]S\Delta _{ABC}=16+A+B=16+2+6 = 24cm^2[/tex3]
e do [tex3]\Delta_{MOB}=B [/tex3]
[tex3]S\Delta _{ABC}=16+A+B[/tex3]
Basta utilizar o teorema: Os triângulos que têm a mesma altura e bases na mesma reta suporte, têm razão entre suas áreas proporcional a razão das medidas das bases.
[tex3]\Delta _{OCB}\rightarrow \frac{2}{CQ}=\frac{4}{BQ}\rightarrow \frac{CQ}{BQ}=\frac{1}{2}(i)[/tex3]
[tex3]\Delta _{ACB}\rightarrow \frac{4+2+A}{CQ}=\frac{6+4+B}{BQ}\rightarrow \frac{6+A}{CQ}=\frac{10+B}{BQ}\rightarrow \frac{6+A}{10+B}=\frac{CQ}{BQ}[/tex3]
Substituindo (i) teremos: [tex3]\frac{6+A}{10+B}=\frac{CQ}{BQ}\rightarrow \frac{6+A}{10+B}=\frac{1}{2}\rightarrow B=2A+2 (ii)[/tex3]
[tex3]\Delta _{ACB}\rightarrow \frac{6+4+A}{AM}=\frac{2+4+B}{MB}\rightarrow \frac{10+A}{AM}=\frac{6+B}{MB}\rightarrow \frac{10+A}{6+B}=\frac{AM}{MB} (iii)[/tex3]
[tex3]\Delta _{AOB}\rightarrow \frac{6}{AM}=\frac{B}{MB}\rightarrow \frac{6}{B}=\frac{AM}{MB}(iv)[/tex3]
Substituindo (iv) em (iii) teremos: [tex3]\frac{10+A}{6+B}=\frac{AM}{MB} \rightarrow \frac{10+A}{6+B}=\frac{6}{B} \rightarrow AB+4B-36=0 (v)[/tex3]
Substituindo (ii) em (v) teremos: [tex3]AB+4B-36=0 \rightarrow A(2A+2)+4(2A+2)-36=0\rightarrow 2A^2+10A+28=0[/tex3]
Resolvendo encontraremos: A = -7 (não serve) e A = 2 portanto B = 2A+2 = 2(2)+2 = 6
[tex3]S\Delta _{ABC}=16+A+B=16+2+6 = 24cm^2[/tex3]
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