Ensino MédioInequação produto e quociente Tópico resolvido

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Carolinethz
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Ago 2017 11 08:14

Inequação produto e quociente

Mensagem não lida por Carolinethz »

- Resolver as inequações:
a) (x-3)(x-5) > 0
b) [tex3]\frac{x-3}{x-5}[/tex3] > 0
Resposta

a)V = { x [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] | x<3 ou x>5}
b) V = { x [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] | x<3 ou x>5}
obs:preciso do passo a passo pois fiz e refiz e não estou aceitando que não estou conseguindo :x



Obrigada desde já!! :wink:

Última edição: csmarcelo (Sex 11 Ago, 2017 09:18). Total de 1 vez.
Razão: Alteração do título



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csmarcelo
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Ago 2017 11 09:17

Re: Inequação produto e quociente

Mensagem não lida por csmarcelo »

Inequações produto o quociente são relativamente simples de se resolver. Você só precisar fazer o estudo dos sinais.

a) O produto será positivo quando ambos fatores possuírem o mesmo sinal, ou seja:

[tex3]\begin{cases}x-3>0\\x-5>0\end{cases}\rightarrow x>5[/tex3]
ou
[tex3]\begin{cases}x-3<0\\x-5<0\end{cases}\rightarrow x<3[/tex3]

a) A regra é a mesma. O quociente será positivo quando ambos fatores possuírem o mesmo sinal.

Última edição: csmarcelo (Sex 11 Ago, 2017 09:18). Total de 1 vez.



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paulo testoni
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Ago 2017 11 13:54

Re: Inequação produto e quociente

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola.

Vou tentar explicar de uma outra forma.

[tex3](x-3)*(x-5)>0[/tex3]

Note que temos duas funções nessa inequação, estando elas multiplicadas, portanto devemos estudar os sinais dessas funções e posteriormente o sinal do produto entre elas.
Para melhor análise, iremos nomear essas funções da seguinte maneira:

[tex3]f(x)=(x-5)[/tex3]

[tex3]gx)= (x-3)[/tex3]

Estudo do sinal das funções:

[tex3]f(x)=x–5\\
x – 5=0\\
x =5[/tex3]

Temos que [tex3]x=5 [/tex3] é a raiz dessa função. Assim, ela é crescente, pois o coeficiente do x é positivo. Portanto, podemos realizar a análise do sinal da função a partir da sua raiz e do valor do sinal do seu coeficiente. Obtendo, assim:
reta 5.gif
reta 5.gif (2.8 KiB) Exibido 2365 vezes
[tex3]g(x)= x -3\\
x-3 = 0\\
x = 3[/tex3]

A raiz dessa função é [tex3]x =3[/tex3] . Note que essa função é crescente, pois o coeficiente do x é positivo. Façamos a análise do sinal:
reta 3.gif
reta 3.gif (2.79 KiB) Exibido 2365 vezes
Agora devemos analisar o produto dos sinais dessas funções. Para isso, utilizaremos um quadro de sinais.
grafico.gif
grafico.gif (7.1 KiB) Exibido 2365 vezes
Você se lembra da inequação? A desigualdade do produto deve ser maior que zero. Veja-a novamente:
[tex3](x-3)*(x-5) > 0[/tex3]

Assim sendo, no quadro de sinais devemos encontrar o intervalo de valores no qual o produto das funções satisfaz à condição de ser maior que zero, ou seja, ele deve ser positivo. Como nos interessa saber quando esse produto é positivo, destacamos o intervalo pela análise do quadro de sinais, obtemos o seguinte conjunto solução da inequação-produto:

[tex3]S={x\in \mathbb{R}Ix<3\/ou\/x>5}[/tex3]

Por fim, veja que temos dois passos muito importantes para a resolução de inequações-produto: primeiramente, determinar os sinais de cada função de acordo com a sua raiz; depois, feito isso com todas as funções, construir o quadro de sinais para realizar o produto dos sinais e obter os reais sinais da função produto, afinal é ela que determina a desigualdade final.

Uma maneira mais rápida seria, assim:

[tex3](x-3)*(x-5)>0[/tex3]

igualando a zero:

[tex3](x-3)*(x-5)=0[/tex3]

Se desenvolver vc terá uma equação do 2.º grau [tex3]x^2-8x+15=0[/tex3] , mas não precisa fazê-lo.

[tex3](x-3)*(x-5)=0[/tex3]
Se o produto de dois números é igual a zero, então um deles é igual a zero, logo:
[tex3]x-3=0\\
x=3[/tex3]
e
[tex3]x-5=5\\
x=5[/tex3]

Portanto, essas são as raízes daquela equação. Façamos o gráfico dessa parábola.
bico.gif
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Paulo Testoni

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