Resposta
[tex3]B=57°30'[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
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futuromilitar
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Ago 2017
10
21:35
Geometria Plana
Em um triângulo [tex3]ABC[/tex3]
retângulo em [tex3]A[/tex3]
sabe-se que [tex3]\frac{S_{b}\cdot S_{c}}{a^{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex3]
onde [tex3]S_{b}[/tex3]
e [tex3]S_{c}[/tex3]
são as medidas das bissetrizes dos ângulos agudos. Calcular [tex3]\angle B[/tex3]
.
[tex3]B=57°30'[/tex3]
[tex3]B=57°30'[/tex3]
''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)
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caju
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Ago 2017
11
10:54
Re: Geometria Plana
Olá futuromilitar,
Veja a imagem do problema:
O enunciado nos diz que [tex3]BC=a[/tex3]
, [tex3]BD=S_b[/tex3]
e [tex3]CE=S_c[/tex3]
.
Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]CEB[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{\sen\(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\)}=\frac{S_c}{\sen\(90^\circ-\alpha\)}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(I)}}[/tex3]
Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]BDC[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{\sen\(135^\circ-\frac{\alpha}{2}\)}=\frac{S_b}{\sen\(\alpha\)}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]
Multiplicando (I) por (II):
[tex3]\frac{a^2}{\sen\(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\)\cdot \sen\(135^\circ-\frac{\alpha}{2}\)}=\frac{S_b\cdot S_c}{\sen(90^\circ-\alpha)\cdot \sen(\alpha)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\cos\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot \[\sen(135^\circ)\cdot\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot\cos(135^\circ)\]}=\frac{S_b\cdot S_c}{\cos(\alpha)\cdot \sen(\alpha)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\cancel{\cos\(\frac{\alpha}{2}\)}\cdot \[\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\(\frac{\alpha}{2}\)+\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\]}=\frac{S_b\cdot S_c}{\underbrace{\[\cos^2\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen^2\(\frac{\alpha}{2}\)\]}_{\text{diferença de quadrados}}\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot\cancel{\cos\(\frac{\alpha}{2}\)}}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cancel{\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)+\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]}}=\frac{S_b\cdot S_c}{\cancel{\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)+\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]}\cdot\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{S_b\cdot S_c}{\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)}[/tex3]
[tex3]\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{S_b\cdot S_c}{a^2}[/tex3]
[tex3]\overbrace{2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cos\(\frac{\alpha}{2}\)}^{\sen(\alpha)}\underbrace{-2\sen^2\(\frac{\alpha}{2}\)}_{\cos(\alpha)-1} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \overbrace{\frac{S_b\cdot S_c}{a^2}}^{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)+\cos(\alpha)-1 =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)+\cos(\alpha) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+1[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)+\cos(\alpha) =\frac{\sqrt{3}+1}{2}[/tex3]
Elevando ao quadrado ambos os lados:
[tex3]\sen^2(\alpha)+2\sen(\alpha)\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha) =\frac{4+2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\sen(2\alpha)+1 =\frac{4+2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\sen(2\alpha)=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}-1[/tex3]
[tex3]\sen(2\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]2\alpha=60^\circ\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\alpha=30^\circ}[/tex3]
Como o enunciado pede o ângulo [tex3]B\,\,\,\Rightarrow\,\,\,B=90-\alpha\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{B=60^\circ}}[/tex3]
Bah. Depois dessa calculeira toda, fiquei cansado! Será que bobeei em algum cálculo? Ou o gabarito está errado? Vou deixar aqui pra conferir esse resultado com alguma ferramenta... se alguém achar algum problema, manda aí. Vamos matar essa questão.
Ah, se alguém achar uma resolução mais rápida também, show! Posta aqui.
Grande abraço,
Prof. Caju
Veja a imagem do problema:
- Screen Shot 2017-08-11 at 10.15.05.png (22.59 KiB) Exibido 492 vezes
Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]CEB[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{\sen\(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\)}=\frac{S_c}{\sen\(90^\circ-\alpha\)}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(I)}}[/tex3]
Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]BDC[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{\sen\(135^\circ-\frac{\alpha}{2}\)}=\frac{S_b}{\sen\(\alpha\)}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]
Multiplicando (I) por (II):
[tex3]\frac{a^2}{\sen\(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\)\cdot \sen\(135^\circ-\frac{\alpha}{2}\)}=\frac{S_b\cdot S_c}{\sen(90^\circ-\alpha)\cdot \sen(\alpha)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\cos\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot \[\sen(135^\circ)\cdot\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot\cos(135^\circ)\]}=\frac{S_b\cdot S_c}{\cos(\alpha)\cdot \sen(\alpha)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\cancel{\cos\(\frac{\alpha}{2}\)}\cdot \[\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\(\frac{\alpha}{2}\)+\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\]}=\frac{S_b\cdot S_c}{\underbrace{\[\cos^2\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen^2\(\frac{\alpha}{2}\)\]}_{\text{diferença de quadrados}}\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cdot\cancel{\cos\(\frac{\alpha}{2}\)}}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cancel{\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)+\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]}}=\frac{S_b\cdot S_c}{\cancel{\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)+\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]}\cdot\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)}[/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{S_b\cdot S_c}{\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)}[/tex3]
[tex3]\[\cos\(\frac{\alpha}{2}\)-\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\]\cdot 2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{S_b\cdot S_c}{a^2}[/tex3]
[tex3]\overbrace{2\sen\(\frac{\alpha}{2}\)\cos\(\frac{\alpha}{2}\)}^{\sen(\alpha)}\underbrace{-2\sen^2\(\frac{\alpha}{2}\)}_{\cos(\alpha)-1} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \overbrace{\frac{S_b\cdot S_c}{a^2}}^{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)+\cos(\alpha)-1 =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)+\cos(\alpha) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+1[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)+\cos(\alpha) =\frac{\sqrt{3}+1}{2}[/tex3]
Elevando ao quadrado ambos os lados:
[tex3]\sen^2(\alpha)+2\sen(\alpha)\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha) =\frac{4+2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\sen(2\alpha)+1 =\frac{4+2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\sen(2\alpha)=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}-1[/tex3]
[tex3]\sen(2\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]2\alpha=60^\circ\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\alpha=30^\circ}[/tex3]
Como o enunciado pede o ângulo [tex3]B\,\,\,\Rightarrow\,\,\,B=90-\alpha\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{B=60^\circ}}[/tex3]
Bah. Depois dessa calculeira toda, fiquei cansado! Será que bobeei em algum cálculo? Ou o gabarito está errado? Vou deixar aqui pra conferir esse resultado com alguma ferramenta... se alguém achar algum problema, manda aí. Vamos matar essa questão.
Ah, se alguém achar uma resolução mais rápida também, show! Posta aqui.
Grande abraço,
Prof. Caju
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Ago 2017
11
12:20
Re: Geometria Plana
O gabarito é esse mesmo. Obrigado Prof. Caju 
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