Ensino Médio ⇒ Inversão de matrizes Tópico resolvido

[FelipeMP]

Determine as condições que x deve satisfazer para que a matriz A seja inversível.

[tex3]A=\begin {pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & x & 5 \\
1 & 3 & 4 & 3 \\
1 & 6 & 5 & x \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\begin {pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & x & 5 \\
1 & 3 & 4 & 3 \\
1 & 6 & 5 & x \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x\neq2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq2 [/tex3]

Encontrei [tex3]x\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq 0[/tex3]

, no entanto, não condiz com a resposta. Se alguém puder ajudar, ficarei grato.

[petras]

Determinante precisa ser diferente de 0
Calculando o determinante encontrará [tex3]-x^2+4x-4 \neq 0 \rightarrow -(x-2)^2\neq 0\rightarrow x\neq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-x^2+4x-4 \neq 0 \rightarrow -(x-2)^2\neq 0\rightarrow x\neq 2[/tex3]

[FelipeMP]

petras, como você chegou a isso?

Transcreverei os cálculos que usei para resolvê-lo:
[tex3]12x+6x+90+60-12x-9x-30-120\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12x+6x+90+60-12x-9x-30-120\neq 0[/tex3]

[tex3]18x+150-21x-150\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18x+150-21x-150\neq 0[/tex3]

[tex3]18x-21x\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18x-21x\neq 0[/tex3]

[tex3]-3x\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-3x\neq 0[/tex3]

[tex3]\therefore x\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore x\neq 0[/tex3]

Onde errei?

[paulo testoni]

Hola Felipe.

A resposta do Petras está corretíssima. Vc provavelmente se equivocou em seus cálculos.

Como o determinante possui [tex3]A_{11}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{11}=1[/tex3]

vc pode aplicar a Regra de Chió para baixar o grau do determinante e depois aplicar a Regra de Sarrus ou se o novo [tex3]A_{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{11}[/tex3]

for novamente igual 1, podes aplicar novamente a Regra de Chió.

[FelipeMP]

paulo testoni, olá. Tentarei desse jeito, obrigado. Mas o determinante da matriz não se manterá o mesmo, apesar de aplicar a Regra de Chió?

[petras]

[tex3]\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 1& 3 & x &5 \\ 1& 3 &4 &3 \\ 1& 6 &5 &x \end{bmatrix}\rightarrow -L1+L2:-L1+L3:-L1+L4 \rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 & x-3 &1 \\ 0& 1 &1 &-1 \\ 0& 4 &2 &x-4 \end{bmatrix}\rightarrow -L3+L2:-4L2+l4\rightarrow \\\ \\ \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 & x-3 &1 \\ 0& 0 &-x+4 &-2 \\ 0& 0 &-4x+14 &x-8 \end{bmatrix}\rightarrow L4-\frac{L3.(4x-14)}{x-4}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 & x-3 &1 \\ 0& 0 &-x+4 &-2 \\ 0& 0 &0 &\frac{x^2-4x+4}{x-4} \end{bmatrix}\rightarrow\\\ \\ D=1.1.(-x+4).(\frac{x^2-4x+4}{x-4})=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 1& 3 & x &5 \\ 1& 3 &4 &3 \\ 1& 6 &5 &x \end{bmatrix}\rightarrow -L1+L2:-L1+L3:-L1+L4 \rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 & x-3 &1 \\ 0& 1 &1 &-1 \\ 0& 4 &2 &x-4 \end{bmatrix}\rightarrow -L3+L2:-4L2+l4\rightarrow \\\ \\ \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 & x-3 &1 \\ 0& 0 &-x+4 &-2 \\ 0& 0 &-4x+14 &x-8 \end{bmatrix}\rightarrow L4-\frac{L3.(4x-14)}{x-4}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 & x-3 &1 \\ 0& 0 &-x+4 &-2 \\ 0& 0 &0 &\frac{x^2-4x+4}{x-4} \end{bmatrix}\rightarrow\\\ \\ D=1.1.(-x+4).(\frac{x^2-4x+4}{x-4})=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2
[/tex3]

[paulo testoni]

paulo testoni, olá. Tentarei desse jeito, obrigado. Mas o determinante da matriz não se manterá o mesmo, apesar de aplicar a Regra de Chió?

===
Com certeza não se altera.

Vc poderia usar a Regra de Laplace. Veja aqui um exemplo: https://www.youtube.com/watch?v=pQDLbqNiVz0

ou ainda calcular o determinante por escalonamento. Veja aqui um exemplo: https://www.youtube.com/watch?v=qCYvugOqQAo

Bons estudos.

[FelipeMP]

paulo testoni, logo, Chió é apenas uma maneira de encontrar o determinante, assim como Sarrus. O que me incomodou nessa questão é que, utilizando Sarrus, não encontrei a resposta.

[paulo testoni]

paulo testoni, logo, Chió é apenas uma maneira de encontrar o determinante, assim como Sarrus. O que me incomodou nessa questão é que, utilizando Sarrus, não encontrei a resposta.

Veja quando vc pode aplicar essa regra:

Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3X3. Quando a matriz é de ordem superior a 3X3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3X3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

[FelipeMP]

petras, paulo testoni, muito obrigado pelas explicações e pela paciência, consegui entender. Simplesmente pensei que uma matriz de ordem maior ou igual a 4 também saia por Sarrus.
Novamente, muito obrigado!