Ensino MédioProbabilidade "Geométrica" Tópico resolvido

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Babi123
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Probabilidade "Geométrica"

Mensagem não lida por Babi123 »

Seleciona-se ao acaso um ponto X no diâmetro AB de um circunferência. Qual a probabilidade da que contém X e é perpendicular a AB ter comprimento maior que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência?
Resposta

Gabarito: [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Última edição: caju (Qui 10 Ago, 2017 14:41). Total de 1 vez.
Razão: Colocar spoiler na resposta.



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caju
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Ago 2017 10 14:30

Re: Probabilidade "Geométrica"

Mensagem não lida por caju »

Olá Babi123,

Primeiramente, vou corrigir o enunciado:
Seleciona-se ao acaso um ponto [tex3]X[/tex3] no diâmetro [tex3]AB[/tex3] de um circunferência. Qual a probabilidade da corda, que contém [tex3]X[/tex3] e é perpendicular a [tex3]AB[/tex3] , ter comprimento maior que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência?
Vamos pensar na figura abaixo:
Screen Shot 2017-08-10 at 14.16.16.png
Screen Shot 2017-08-10 at 14.16.16.png (22.12 KiB) Exibido 1290 vezes
[tex3]\rightarrow[/tex3] Se o ponto [tex3]X[/tex3] for escolhido à direita de [tex3]G[/tex3] , então a corda [tex3]CD[/tex3] será menor que o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.

[tex3]\rightarrow[/tex3] Se o ponto [tex3]X[/tex3] for escolhido à esquerda de [tex3]G[/tex3] (mas à direita de [tex3]O[/tex3] ), então a corda [tex3]CD[/tex3] será maior que o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.

Assim, pensando apenas no raio [tex3]OB[/tex3] , temos um total de possibilidades (condições possíveis) que se estende de [tex3]O[/tex3] até [tex3]B[/tex3] , ou seja, raio [tex3]R[/tex3] .
Mas, apenas as possibilidades que se estendem de [tex3]O[/tex3] até [tex3]G[/tex3] são favoráveis ao enunciado (ser maior que o lado do triângulo).

Conforme demonstrado aqui, temos que o lado [tex3]\ell[/tex3] do triângulo vale [tex3]\ell=R\sqrt{3}[/tex3] . Assim, a altura do triângulo equilátero será: [tex3]AG=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}[/tex3] .

Pela propriedade de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, temos que [tex3]OG=\frac{AG}{3}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{OG=\frac{R}{2}}[/tex3] .

Ou seja, as condições favoráveis ao enunciado (ser maior que o lado do triângulo) se estendem em um comprimento [tex3]\frac{R}{2}[/tex3] .

Como estávamos pensando apenas no raio, devemos multiplicar por 2 tanto as condições favoráveis quanto as condições totais. Assim, a probabilidade pedida vale:

[tex3]\text{probabilidade}=\frac{\text{condições favoráveis}}{\text{condições possíveis}}=\frac{2\cdot\frac{R}{2}}{2\cdot R}=\boxed{\boxed{50\%}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju



"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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Babi123
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Re: Probabilidade "Geométrica"

Mensagem não lida por Babi123 »

Muitíssimo obrigada caju. :D:lol:




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