Olá
Babi123,
Primeiramente, vou corrigir o enunciado:
Seleciona-se ao acaso um ponto [tex3]X[/tex3]
no diâmetro [tex3]AB[/tex3]
de um circunferência. Qual a probabilidade da corda, que contém [tex3]X[/tex3]
e é perpendicular a [tex3]AB[/tex3]
, ter comprimento maior que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência?
Vamos pensar na figura abaixo:
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[tex3]\rightarrow[/tex3]
Se o ponto [tex3]X[/tex3]
for escolhido
à direita de [tex3]G[/tex3]
, então a corda [tex3]CD[/tex3]
será menor que o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.
[tex3]\rightarrow[/tex3]
Se o ponto [tex3]X[/tex3]
for escolhido
à esquerda de [tex3]G[/tex3]
(mas à direita de [tex3]O[/tex3]
), então a corda [tex3]CD[/tex3]
será maior que o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.
Assim, pensando apenas no raio [tex3]OB[/tex3]
, temos um total de possibilidades (
condições possíveis) que se estende de [tex3]O[/tex3]
até [tex3]B[/tex3]
, ou seja, raio [tex3]R[/tex3]
.
Mas, apenas as possibilidades que se estendem de [tex3]O[/tex3]
até [tex3]G[/tex3]
são favoráveis ao enunciado (ser maior que o lado do triângulo).
Conforme demonstrado
aqui, temos que o lado [tex3]\ell[/tex3]
do triângulo vale [tex3]\ell=R\sqrt{3}[/tex3]
. Assim, a altura do triângulo equilátero será: [tex3]AG=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}[/tex3]
.
Pela propriedade de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, temos que [tex3]OG=\frac{AG}{3}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{OG=\frac{R}{2}}[/tex3]
.
Ou seja, as
condições favoráveis ao enunciado (ser maior que o lado do triângulo) se estendem em um comprimento [tex3]\frac{R}{2}[/tex3]
.
Como estávamos pensando apenas no raio, devemos multiplicar por 2 tanto as condições favoráveis quanto as condições totais. Assim, a probabilidade pedida vale:
[tex3]\text{probabilidade}=\frac{\text{condições favoráveis}}{\text{condições possíveis}}=\frac{2\cdot\frac{R}{2}}{2\cdot R}=\boxed{\boxed{50\%}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju