Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples e Quadriláteros

[ALDRIN]

Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:

a) 128.
b) 495.
c) 545.
d) 1.485.
e) 11.880.

[Thadeu]

Seria uma combinação de 12 pontos em grupos de 4

[tex3]C_{12,4}=\frac{12!}{4!(12-4)!}\,\Rightarrow\,C_{12,4}=\frac{12\time11\time10\time9\time8!}{(4\time3\time2\time1)8!}\,\Rightarrow\,C_{12,4}=\frac{11880}{24}=495[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{12,4}=\frac{12!}{4!(12-4)!}\,\Rightarrow\,C_{12,4}=\frac{12\time11\time10\time9\time8!}{(4\time3\time2\time1)8!}\,\Rightarrow\,C_{12,4}=\frac{11880}{24}=495[/tex3]

Resp b

[edu_landim]

Desse jeito você está calculando apenas os quadriláteros convexos, o problema não limita isso.

[edu_landim]

Considere escolhidos os pontos [tex3]\{A\,,\,B\,,\,C\,,\,D\}[/tex3]

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[tex3]\{A\,,\,B\,,\,C\,,\,D\}[/tex3]

partindo de [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

devemos escolher dois outros dentre [tex3]B,C,D[/tex3]

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[tex3]B,C,D[/tex3]

para traçarmos dois lados havendo 3 modos de fazer isso, feito essa etapa devemos de cada ponto ligado a [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

traçar um outro lado que só pode ser feito ligando ao ponto que ainda não foi escolhido.

Logo o número total de quadriláteros será [tex3]3\,\cdot\,495\,=\,1.485[/tex3]

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[tex3]3\,\cdot\,495\,=\,1.485[/tex3]

[Thadeu]

Edu, os quadriláteros não convexos não podem existir nesse caso pois todos os pontos estão sobre uma circunferência, e com isso um quadrilátero do tipo desse da figura, não existiria pois o ponto C não estaria sobre a circunferência:

t.gif (1.71 KiB) Exibido 12327 vezes

Se considerarmos outros quatro pontos, os lados irão se cruzar e não seria mais um quadrilátero.

Concorda com isso?

[ALDRIN]

Pessoal , postei essa questão justamente para ver as resoluções de vocês, pois eu tenho duas resoluções diferentes (igual a de vocês) e gostaria de saber qual é a correta, mas acredito que a segunda esteja certa:

1ª) [tex3]C_{12,4}= \frac{12!}{8!\cdot 4!} = \frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{24}=495[/tex3]

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[tex3]C_{12,4}= \frac{12!}{8!\cdot 4!} = \frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{24}=495[/tex3]

Saulo Nilson

2ª) Cada 4 pontos dá origem a 3 quadriláteros, um dos quais é convexo e os outros dois tem o formato de uma gravata borboleta.
Assim, temos [tex3]{12\choose 4} \cdot 3 = 495\cdot 3 = 1485[/tex3]

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[tex3]{12\choose 4} \cdot 3 = 495\cdot 3 = 1485[/tex3]

quadriláteros.

[]s,
Claudio Buffara.

[Karl Weierstrass]

O polígono "gravata borboleta" descrito na 2ª solução é chamado de polígono entrecruzado. O problema é que essa definição raramente é apresentada em livros didáticos, bem como em livros mais avançados. Nos que tenho aqui, o único que menciona essa classe de polígonos é o Geometria I do Morgado. Alguém conhece outro livro que apresente essa definição?

[Thadeu]

Polígonos (Wikipédia Portuguesa)

Karl, nessa página está mostrando o que você falou.

[Karl Weierstrass]

Obrigado Thadeu.

Como o conteúdo do link que você forneceu foi extraído da Wikipédia, modifiquei-o para apontar diretamente para a fonte.

[paulo testoni]

Hola.

Recebi a seguinte mensagem do Prof. Johnny:

Assunto: Re: Questão do fórum

Mensagem: Essa história de polígono gravata borboleta é viagem, ele não é um quadrilátero. A única resposta correta é a 1.ª do Saulo Nilson.