Ensino Médio ⇒ Radical biquadrático Tópico resolvido

[ludwing]

Segundo as videoaulas que assisti sobre isso, todos os professores afirmavam que na igualdade:

[tex3]A \pm \sqrt{B} = x + y + 2\sqrt{xy}[/tex3]

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[tex3]A \pm \sqrt{B} = x + y + 2\sqrt{xy}[/tex3]

"como cada membro dessa igualdade são formados por uma parte racional e uma irracional, elas podem ser isoladamente igualadas."

[tex3]A = x + y[/tex3]

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[tex3]A = x + y[/tex3]

[tex3]\sqrt{B} = \pm 2\sqrt{xy}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{B} = \pm 2\sqrt{xy}[/tex3]

A dúvida é que não encontrei nada a respeito disso nos livros e nenhum professor explicou ou provou isso, alguém poderia então me dizer se existe algum relato disso em livros e ainda, poderiam me demonstrar isso?

[alevini98]

Isso eu sinceramente duvido que encontre em algum livro. Não faço ideia do porquê os autores não colocam isso nos livros, pois isso deveria ser o básico a ser ensinado.

Mas enfim, vou dar uma breve explicação aqui.

Sendo que vou utilizar apenas as letras que representam cada conjunto e algumas notações, como [tex3]\mathbb{Q}^*[/tex3]

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[tex3]\mathbb{Q}^*[/tex3]

, que representa os racionais não nulos.

Aquelas operações que sempre, e eu digo SEMPRE, serão verdadeiras são:

[tex3]\mathbb{Q}+\mathbb{Q}=\mathbb{Q}\\\\\mathbb{I}+\mathbb{I}=\mathbb{I}\\\\\mathbb{Q}+\mathbb{I}=\mathbb{I}\\\\\mathbb{Q}\cdot\mathbb{Q}=\mathbb{Q}\\\\\mathbb{I}\cdot\mathbb{I}=\mathbb{I}\mbox{ ou }\mathbb{Q}\\\\\mathbb{Q^*}\cdot\mathbb{I}=\mathbb{I}\to\mbox{ sendo }0\in\mathbb{Q}\to0\cdot\mathbb{I}=0\\\\\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Q^*}}=\mathbb{Q}\\\\\frac{\mathbb{I}}{\mathbb{I}}=\mathbb{I}\mbox{ ou }\mathbb{Q}\\\\\frac{\mathbb{I}}{\mathbb{Q^*}}=\mathbb{I}\\\\\frac{\mathbb{Q}^*}{\mathbb{I}}=\mathbb{I}\to\frac{0}{\mathbb{I}}=0[/tex3]

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[tex3]\mathbb{Q}+\mathbb{Q}=\mathbb{Q}\\\\\mathbb{I}+\mathbb{I}=\mathbb{I}\\\\\mathbb{Q}+\mathbb{I}=\mathbb{I}\\\\\mathbb{Q}\cdot\mathbb{Q}=\mathbb{Q}\\\\\mathbb{I}\cdot\mathbb{I}=\mathbb{I}\mbox{ ou }\mathbb{Q}\\\\\mathbb{Q^*}\cdot\mathbb{I}=\mathbb{I}\to\mbox{ sendo }0\in\mathbb{Q}\to0\cdot\mathbb{I}=0\\\\\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Q^*}}=\mathbb{Q}\\\\\frac{\mathbb{I}}{\mathbb{I}}=\mathbb{I}\mbox{ ou }\mathbb{Q}\\\\\frac{\mathbb{I}}{\mathbb{Q^*}}=\mathbb{I}\\\\\frac{\mathbb{Q}^*}{\mathbb{I}}=\mathbb{I}\to\frac{0}{\mathbb{I}}=0[/tex3]

As que eu puxei uma seta são, digamos, os "casos especiais".

Acho que nao faltou nenhuma.

[csmarcelo]

Não há o que demonstrar. Temos dois pontos nessa passagem:

1) Está relacionado com o que o alevini98 falou.

Se [tex3]\sqrt{B}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{B}[/tex3]

é irracional e [tex3]A\pm\sqrt{B}=x+y+2\sqrt{xy}[/tex3]

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[tex3]A\pm\sqrt{B}=x+y+2\sqrt{xy}[/tex3]

, então, pelo menos, [tex3]\sqrt{B}=\pm2\sqrt{xy}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{B}=\pm2\sqrt{xy}[/tex3]

.

2) Existe uma arbitrariedade ao se dizer que [tex3]A=x+y[/tex3]

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[tex3]A=x+y[/tex3]

, pois, nessa circunstância, se pode partir para a equação do segundo grau.

[ludwing]

muito bom! Revirei tudo que é livro, internet, amigos, etc, e não tinha achado uma explicação! Valeu pessoal!