Na figura a seguir, determine o valor de R sabendo que [tex3]\overline{AB}=4~\overline{BC}=6~e~\overline{BH}=3[/tex3]
.Ensino Médio ⇒ Geometria na Circunferência Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2017
30
19:10
Re: Geometria na Circunferência
Teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle ABH[/tex3]
[tex3]3^2+\overline{AH}^2=4^2\Rightarrow\overline{AH}=\sqrt{7}[/tex3]
Teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle BCH[/tex3] :
[tex3]3^2+\overline{CH}^2=6^2\Rightarrow\overline{CH}=3\sqrt{3}[/tex3]
Area do [tex3]\triangle ABC[/tex3] :
Note que [tex3]\overline{AC}=\overline{AH}+\overline{CH}[/tex3]
[tex3]A=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BH}}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}[/tex3]
Area do mesmo triângulo, só que usando o raio do circuncírculo:
[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3]
[tex3]\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}=\frac{(4)(6)(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{4R}[/tex3]
[tex3]R=4[/tex3]
:[tex3]3^2+\overline{AH}^2=4^2\Rightarrow\overline{AH}=\sqrt{7}[/tex3]
Teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle BCH[/tex3] :
[tex3]3^2+\overline{CH}^2=6^2\Rightarrow\overline{CH}=3\sqrt{3}[/tex3]
Area do [tex3]\triangle ABC[/tex3] :
Note que [tex3]\overline{AC}=\overline{AH}+\overline{CH}[/tex3]
[tex3]A=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BH}}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}[/tex3]
Area do mesmo triângulo, só que usando o raio do circuncírculo:
[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3]
[tex3]\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}=\frac{(4)(6)(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{4R}[/tex3]
[tex3]R=4[/tex3]
Última edição: Lonel (Dom 30 Jul, 2017 19:11). Total de 1 vez.
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Jul 2017
30
19:43
Re: Geometria na Circunferência
Cara, desculpa, mas me perdi aqui:
"[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3] "
Isso é uma formula pra calcular a área através do raio?
"[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3] "
Isso é uma formula pra calcular a área através do raio?
Quer nos ver vencer, o único que pode nos deter.
Jul 2017
30
21:15
Re: Geometria na Circunferência
Sim. Existem diversas fórmulas para calcular a área de um triângulo, e usando o raio do circuncírculo acaba sendo útil para esta questão. Aqui esta a demonstração:ivanginato23 escreveu: ↑Dom 30 Jul, 2017 19:43Isso é uma formula pra calcular a área através do raio?
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... 28&t=37232
Tambem teria como achar o raio [tex3]R[/tex3] usando a lei dos senos, mas acho que daria mais trabalho pois teríamos que descobrir o valor de algum ângulo do triângulo ABC, e o valor de AC não é muito amigavel para isso.
Última edição: Lonel (Dom 30 Jul, 2017 21:16). Total de 1 vez.
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