Ensino Médio ⇒ Geometria na Circunferência Tópico resolvido

[ivanginato23]

Na figura a seguir, determine o valor de R sabendo que [tex3]\overline{AB}=4~\overline{BC}=6~e~\overline{BH}=3[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}=4~\overline{BC}=6~e~\overline{BH}=3[/tex3]

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[Lonel]

Teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle ABH[/tex3]

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[tex3]\triangle ABH[/tex3]

:

[tex3]3^2+\overline{AH}^2=4^2\Rightarrow\overline{AH}=\sqrt{7}[/tex3]

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[tex3]3^2+\overline{AH}^2=4^2\Rightarrow\overline{AH}=\sqrt{7}[/tex3]

Teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle BCH[/tex3]

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[tex3]\triangle BCH[/tex3]

:

[tex3]3^2+\overline{CH}^2=6^2\Rightarrow\overline{CH}=3\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]3^2+\overline{CH}^2=6^2\Rightarrow\overline{CH}=3\sqrt{3}[/tex3]

Area do [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

:

Note que [tex3]\overline{AC}=\overline{AH}+\overline{CH}[/tex3]

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[tex3]\overline{AC}=\overline{AH}+\overline{CH}[/tex3]

[tex3]A=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BH}}{2}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BH}}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}[/tex3]

Area do mesmo triângulo, só que usando o raio do circuncírculo:

[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3]

[tex3]\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}=\frac{(4)(6)(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{4R}[/tex3]

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[tex3]\frac{3(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{2}=\frac{(4)(6)(\sqrt{7}+3\sqrt{3})}{4R}[/tex3]

[tex3]R=4[/tex3]

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[tex3]R=4[/tex3]

[ivanginato23]

Cara, desculpa, mas me perdi aqui:
"[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{4R}[/tex3]

"
Isso é uma formula pra calcular a área através do raio?

[Lonel]

Isso é uma formula pra calcular a área através do raio?

Sim. Existem diversas fórmulas para calcular a área de um triângulo, e usando o raio do circuncírculo acaba sendo útil para esta questão. Aqui esta a demonstração:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... 28&t=37232

Tambem teria como achar o raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

usando a lei dos senos, mas acho que daria mais trabalho pois teríamos que descobrir o valor de algum ângulo do triângulo ABC, e o valor de AC não é muito amigavel para isso.