Ensino Médio ⇒ Equação polinomial Tópico resolvido

[Hanon]

Resolver a equação: [tex3]x^{3}-3x+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3}-3x+1=0[/tex3]

[undefinied3]

Faça [tex3]x=2cos(y)[/tex3]

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[tex3]x=2cos(y)[/tex3]

:
[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]

O resto é trigonometria.

E só pode-se fazer essa substituição ao traçar o gráfico e concluir que todas as raízes estarão entre -2 e 2.

[Lonel]

Faça...

Como chegasse a conclusão que [tex3]8\cos^3(y)-6\cos(y)=2\cos(3y)[/tex3]

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[tex3]8\cos^3(y)-6\cos(y)=2\cos(3y)[/tex3]

?

[undefinied3]

Porque [tex3]4cos^3(y)-3cos(y)[/tex3]

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[tex3]4cos^3(y)-3cos(y)[/tex3]

é a expansão de [tex3]cos(3y)[/tex3]

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[tex3]cos(3y)[/tex3]

. São coisas que você acaba decorando pra acelerar resolução de exercícios ITA/IME/Outras coisas de trigonometria bizarras. Pra deduzir, basta expandir como [tex3]cos(y+2y)[/tex3]

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[tex3]cos(y+2y)[/tex3]

e depois expandir de novo [tex3]cos(2y)[/tex3]

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[tex3]cos(2y)[/tex3]

. A versão do [tex3]sen(3x)[/tex3]

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[tex3]sen(3x)[/tex3]

é bastante semelhante: [tex3]-4sen^3(x)+3sen(x)[/tex3]

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[tex3]-4sen^3(x)+3sen(x)[/tex3]

[Andre13000]

Também é interessante a substituição hiperbólica quando verifica-se que só existe uma raíz real.

[Hanon]

Obrigado amigos! Andre13000 não conheço a substituição hiperbólica, mas fiquei curioso e vou pesquisar. Undefinied3, a propósito, qual o motivo das raizes estarem entre -2 e 2 ?

[Lonel]

propósito, qual o motivo das raizes estarem entre -2 e 2 ?

Vai jogando valores e veja quantas vezes o resultado vai de positivo para negativo, ou vice versa. Se isso acontece 3 vezes, as três raízes estão neste intervalo.

X=-2, f(x)=-1
X=-1, f(x)=3
Opa, existe uma raiz entre -2 e -1.
X=0, f(x)=1
X=1, f(x)=-1
Outra raíz, entre 0 e 1.
X=2, f(x)=3
A última raíz esta entre 1 e 2.

Como uma equação de terceiro grau apresenta apenas três raízes, então para qualquer valor de X menor que -2,f(x) será negativo, e para qualquer valor maior que 2, f(x) será positivo.

[Andre13000]

Outro argumento

Veja que se [tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3]

, então

[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]

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[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]

Agora veja o seguinte:

[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]

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[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]

Suponha que existe uma raíz maior que 2. Veja que o gráfico está subindo quando x é 2, e portanto alguma hora tem que descer. Mas a inclinação do gráfico sempre é maior que zero nesse intervalo, não é possível que ele venha a descer novamente. A mesma coisa vale para para uma raíz menor que 2.

[Hanon]

Grato Lonel e Andre13000! Esclareceu a dúvida..