Ensino MédioEquação polinomial Tópico resolvido

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Jul 2017 29 23:37

Equação polinomial

Mensagem não lida por Hanon » Sáb 29 Jul, 2017 23:37

Resolver a equação: [tex3]x^{3}-3x+1=0[/tex3]




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undefinied3
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Jul 2017 30 00:53

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por undefinied3 » Dom 30 Jul, 2017 00:53

Faça [tex3]x=2cos(y)[/tex3] :
[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]
O resto é trigonometria.

E só pode-se fazer essa substituição ao traçar o gráfico e concluir que todas as raízes estarão entre -2 e 2.



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Lonel
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Jul 2017 30 01:04

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por Lonel » Dom 30 Jul, 2017 01:04

undefinied3 escreveu:
Dom 30 Jul, 2017 00:53
Faça...
Como chegasse a conclusão que [tex3]8\cos^3(y)-6\cos(y)=2\cos(3y)[/tex3] ?



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undefinied3
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Jul 2017 30 01:14

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por undefinied3 » Dom 30 Jul, 2017 01:14

Porque [tex3]4cos^3(y)-3cos(y)[/tex3] é a expansão de [tex3]cos(3y)[/tex3] . São coisas que você acaba decorando pra acelerar resolução de exercícios ITA/IME/Outras coisas de trigonometria bizarras. Pra deduzir, basta expandir como [tex3]cos(y+2y)[/tex3] e depois expandir de novo [tex3]cos(2y)[/tex3] . A versão do [tex3]sen(3x)[/tex3] é bastante semelhante: [tex3]-4sen^3(x)+3sen(x)[/tex3]


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Jul 2017 30 09:34

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por Andre13000 » Dom 30 Jul, 2017 09:34

Também é interessante a substituição hiperbólica quando verifica-se que só existe uma raíz real.


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Jul 2017 30 11:35

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por Hanon » Dom 30 Jul, 2017 11:35

Obrigado amigos! Andre13000 não conheço a substituição hiperbólica, mas fiquei curioso e vou pesquisar. Undefinied3, a propósito, qual o motivo das raizes estarem entre -2 e 2 ?
Última edição: Hanon (Dom 30 Jul, 2017 11:38). Total de 2 vezes.



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Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por Lonel » Dom 30 Jul, 2017 11:59

Hanon escreveu:
Dom 30 Jul, 2017 11:35
propósito, qual o motivo das raizes estarem entre -2 e 2 ?
Vai jogando valores e veja quantas vezes o resultado vai de positivo para negativo, ou vice versa. Se isso acontece 3 vezes, as três raízes estão neste intervalo.

X=-2, f(x)=-1
X=-1, f(x)=3
Opa, existe uma raiz entre -2 e -1.
X=0, f(x)=1
X=1, f(x)=-1
Outra raíz, entre 0 e 1.
X=2, f(x)=3
A última raíz esta entre 1 e 2.

Como uma equação de terceiro grau apresenta apenas três raízes, então para qualquer valor de X menor que -2,f(x) será negativo, e para qualquer valor maior que 2, f(x) será positivo.



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Jul 2017 30 12:08

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por Andre13000 » Dom 30 Jul, 2017 12:08

Outro argumento

Veja que se [tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3] , então

[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]

Agora veja o seguinte:

[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]

Suponha que existe uma raíz maior que 2. Veja que o gráfico está subindo quando x é 2, e portanto alguma hora tem que descer. Mas a inclinação do gráfico sempre é maior que zero nesse intervalo, não é possível que ele venha a descer novamente. A mesma coisa vale para para uma raíz menor que 2.


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Jul 2017 30 12:58

Re: Equação polinomial

Mensagem não lida por Hanon » Dom 30 Jul, 2017 12:58

Grato Lonel e Andre13000! Esclareceu a dúvida.. :D :lol:




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