Ensino Médio ⇒ Equação polinomial Tópico resolvido
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Jul 2017
30
00:53
Re: Equação polinomial
Faça [tex3]x=2cos(y)[/tex3]
[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]
O resto é trigonometria.
E só pode-se fazer essa substituição ao traçar o gráfico e concluir que todas as raízes estarão entre -2 e 2.
:[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]
O resto é trigonometria.
E só pode-se fazer essa substituição ao traçar o gráfico e concluir que todas as raízes estarão entre -2 e 2.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Jul 2017
30
01:04
Re: Equação polinomial
Como chegasse a conclusão que [tex3]8\cos^3(y)-6\cos(y)=2\cos(3y)[/tex3] ?
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Jul 2017
30
01:14
Re: Equação polinomial
Porque [tex3]4cos^3(y)-3cos(y)[/tex3]
é a expansão de [tex3]cos(3y)[/tex3]
. São coisas que você acaba decorando pra acelerar resolução de exercícios ITA/IME/Outras coisas de trigonometria bizarras. Pra deduzir, basta expandir como [tex3]cos(y+2y)[/tex3]
e depois expandir de novo [tex3]cos(2y)[/tex3]
. A versão do [tex3]sen(3x)[/tex3]
é bastante semelhante: [tex3]-4sen^3(x)+3sen(x)[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Jul 2017
30
09:34
Re: Equação polinomial
Também é interessante a substituição hiperbólica quando verifica-se que só existe uma raíz real.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Jul 2017
30
11:35
Re: Equação polinomial
Obrigado amigos! Andre13000 não conheço a substituição hiperbólica, mas fiquei curioso e vou pesquisar. Undefinied3, a propósito, qual o motivo das raizes estarem entre -2 e 2 ?
Última edição: Hanon (Dom 30 Jul, 2017 11:38). Total de 2 vezes.
Jul 2017
30
11:59
Re: Equação polinomial
Vai jogando valores e veja quantas vezes o resultado vai de positivo para negativo, ou vice versa. Se isso acontece 3 vezes, as três raízes estão neste intervalo.
X=-2, f(x)=-1
X=-1, f(x)=3
Opa, existe uma raiz entre -2 e -1.
X=0, f(x)=1
X=1, f(x)=-1
Outra raíz, entre 0 e 1.
X=2, f(x)=3
A última raíz esta entre 1 e 2.
Como uma equação de terceiro grau apresenta apenas três raízes, então para qualquer valor de X menor que -2,f(x) será negativo, e para qualquer valor maior que 2, f(x) será positivo.
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Jul 2017
30
12:08
Re: Equação polinomial
Outro argumento
Veja que se [tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3] , então
[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]
Agora veja o seguinte:
[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]
Suponha que existe uma raíz maior que 2. Veja que o gráfico está subindo quando x é 2, e portanto alguma hora tem que descer. Mas a inclinação do gráfico sempre é maior que zero nesse intervalo, não é possível que ele venha a descer novamente. A mesma coisa vale para para uma raíz menor que 2.
Veja que se [tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3] , então
[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]
Agora veja o seguinte:
[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]
Suponha que existe uma raíz maior que 2. Veja que o gráfico está subindo quando x é 2, e portanto alguma hora tem que descer. Mas a inclinação do gráfico sempre é maior que zero nesse intervalo, não é possível que ele venha a descer novamente. A mesma coisa vale para para uma raíz menor que 2.
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