Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Equação polinomial Tópico resolvido
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Jul 2017
30
00:53
Re: Equação polinomial
Faça [tex3]x=2cos(y)[/tex3]
[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]
O resto é trigonometria.
E só pode-se fazer essa substituição ao traçar o gráfico e concluir que todas as raízes estarão entre -2 e 2.
:[tex3]8cos^3(y)-6cos(y)+1=0 \rightarrow 2cos(3y)+1=0 \rightarrow cos(3y)=-\frac{1}{2}[/tex3]
O resto é trigonometria.
E só pode-se fazer essa substituição ao traçar o gráfico e concluir que todas as raízes estarão entre -2 e 2.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Jul 2017
30
01:04
Re: Equação polinomial
Como chegasse a conclusão que [tex3]8\cos^3(y)-6\cos(y)=2\cos(3y)[/tex3] ?
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Jul 2017
30
01:14
Re: Equação polinomial
Porque [tex3]4cos^3(y)-3cos(y)[/tex3]
é a expansão de [tex3]cos(3y)[/tex3]
. São coisas que você acaba decorando pra acelerar resolução de exercícios ITA/IME/Outras coisas de trigonometria bizarras. Pra deduzir, basta expandir como [tex3]cos(y+2y)[/tex3]
e depois expandir de novo [tex3]cos(2y)[/tex3]
. A versão do [tex3]sen(3x)[/tex3]
é bastante semelhante: [tex3]-4sen^3(x)+3sen(x)[/tex3]
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Jul 2017
30
09:34
Re: Equação polinomial
Também é interessante a substituição hiperbólica quando verifica-se que só existe uma raíz real.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Jul 2017
30
11:35
Re: Equação polinomial
Obrigado amigos! Andre13000 não conheço a substituição hiperbólica, mas fiquei curioso e vou pesquisar. Undefinied3, a propósito, qual o motivo das raizes estarem entre -2 e 2 ?
Editado pela última vez por Hanon em 30 Jul 2017, 11:38, em um total de 2 vezes.
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Jul 2017
30
11:59
Re: Equação polinomial
Vai jogando valores e veja quantas vezes o resultado vai de positivo para negativo, ou vice versa. Se isso acontece 3 vezes, as três raízes estão neste intervalo.
X=-2, f(x)=-1
X=-1, f(x)=3
Opa, existe uma raiz entre -2 e -1.
X=0, f(x)=1
X=1, f(x)=-1
Outra raíz, entre 0 e 1.
X=2, f(x)=3
A última raíz esta entre 1 e 2.
Como uma equação de terceiro grau apresenta apenas três raízes, então para qualquer valor de X menor que -2,f(x) será negativo, e para qualquer valor maior que 2, f(x) será positivo.
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Jul 2017
30
12:08
Re: Equação polinomial
Outro argumento
Veja que se [tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3] , então
[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]
Agora veja o seguinte:
[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]
Suponha que existe uma raíz maior que 2. Veja que o gráfico está subindo quando x é 2, e portanto alguma hora tem que descer. Mas a inclinação do gráfico sempre é maior que zero nesse intervalo, não é possível que ele venha a descer novamente. A mesma coisa vale para para uma raíz menor que 2.
Veja que se [tex3]f(x)=x^3-3x+1[/tex3] , então
[tex3]f(-2)=-1\\
f(2)=6[/tex3]
Agora veja o seguinte:
[tex3]f'(x)=3x^2-3\\
\text{Se}~|x|>2,~\text{entao }~f(x)>0[/tex3]
Suponha que existe uma raíz maior que 2. Veja que o gráfico está subindo quando x é 2, e portanto alguma hora tem que descer. Mas a inclinação do gráfico sempre é maior que zero nesse intervalo, não é possível que ele venha a descer novamente. A mesma coisa vale para para uma raíz menor que 2.
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