Ensino Médio ⇒ Exercício sobre retas. Parcialmente resolvido! Tópico resolvido

[diegobel]

Olá pessoal. Estou com uma dúvida sobre este exercício de retas que encontrei no livro de Cálculo do professor George B. Thomas.O exercício é assim:

"Neste exercício se investiga como encontrar a distância de um ponto P(a,b) a uma reta L: Ax + By = C. Sugerimos que se trabalhe em grupos de dois ou três.

(a) Escreva uma equação para a reta M passando por P perpendicularmente a L. "

Pois bem, eu consegui chegar a resolução da letra a da seguinte maneira:
Considerando L: y = [tex3]\frac{-Ax}{B} + \frac{C}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{-Ax}{B} + \frac{C}{B}[/tex3]

Pela condição da perpendicularidade, o coeficiente angular de M deve ser m=[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

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[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

, e também considerando que (x1,y1) = (a,b).
Assim sendo, e considerando a equação y-y1 = m(x-x1), a equação atende os requisitos quando:
M: y = [tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

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[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

(x-a) + b

Verifiquei no livro de respostas e está correto.

Tive dificuldades na letra b. É assim descrita:

"(b) Determine as coordenadas do ponto Q em que M e L se cruzam."

A primeira dúvida é como determinar Q(x,y).
Pensei da seguinte maneira: estipular que Q(x,y) seria o ponto final para M e L, já que consigo estabelecer os pontos iniciais de ambas as retas.
Para a reta L, o ponto inicial fica no eixo das ordenadas, em que: (x1,y1) = (0,[tex3]\frac{C}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{C}{B}[/tex3]

).
Assim como o ponto inicial de M: (x1,y1) = (a,b).
Considerando o mesmo coeficiente angular para a condição de perpendicularidade, entendo que Q terá o mesmo ponto para X e para Y final para ambas as retas. Então, se eu igualo as equações e determino uma relação algébrica entre as duas equações para que elas tenham o mesmo valor de Y.
Ficam assim descritas:
[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

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[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

x - [tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

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[tex3]\frac{B}{A}[/tex3]

a + b = [tex3]\frac{-A}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{-A}{B}[/tex3]

x + [tex3]\frac{C}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{C}{B}[/tex3]

Junto tudo o que tem denominador em comum. Ficaria:
[tex3]\frac{Bx-Ba}{A}+b = \frac{-Ax+C}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{Bx-Ba}{A}+b = \frac{-Ax+C}{B}[/tex3]

Cruzando, fica:
B²x - B²a + Bb = -A²x + AC
Isolando x:
b²a + Bb - AC = -A²x - B²x
Desenvolvendo:

[tex3]\frac{B²a+ AC - Bb }{A² + B²}[/tex3]

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[tex3]\frac{B²a+ AC - Bb }{A² + B²}[/tex3]

Galera, eu enrosquei aqui. A resposta do livro diz que:

[tex3]\frac{B²a + AC - ABb}{A² +B²}[/tex3]

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[tex3]\frac{B²a + AC - ABb}{A² +B²}[/tex3]

A diferença da minha resposta para a resposta do livro(valor de x no ponto Q) é que tem um A que multiplica Bb. É evidente que é um erro que estou cometendo ao desenvolver a equação algébrica. Eu agradeceria muito se pudessem desenvolver a equação até a resolução correta para eu ver no que estou errando. Desde já agradeço muito!

[undefinied3]

Repare que em [tex3]\frac{Bx-Ba}{A}+b=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{Bx-Ba}{A}+b=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]

, você até pode "multiplicar cruzado" se colocar toda expressão do lado esquerdo no mesmo denominador; no caso, aquele fator [tex3]+b[/tex3]

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[tex3]+b[/tex3]

não está no denominador A, então devemos colocá-lo:
[tex3]\frac{Bx-Ba+Ab}{A}=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]

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[tex3]\frac{Bx-Ba+Ab}{A}=\frac{-Ax+C}{B}[/tex3]

Agora é só continuar com o que você fez.

Pra evitar esse erro, note que "multiplicar cruzado" é apenas multiplicar os dois lados da expressão por [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

a fim de cortar os denominadores. Multiplicando por AB já fica claro que irá aparecer [tex3]ABb[/tex3]

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[tex3]ABb[/tex3]

[diegobel]

Olá undefinied3. Consegui desenvolver e achei o valor do Y do ponto Q também e condiz com a resposta do livro. Muito obrigado undefinied3, você me ajudou muito.