Ensino Médio ⇒ Fórmula para soma Tópico resolvido

[undefinied3]

Determine uma fórmula fechada, em função de n, para a seguinte soma:

[tex3]S=1*2+2*3+3*4+4*5+...+n(n+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=1*2+2*3+3*4+4*5+...+n(n+1)[/tex3]

[Andre13000]

[tex3]\frac{x^{n+2}-1}{x-1}=1+x+x^2+\dots+x^n+x^{n+1}\\
\frac{d^2}{dx^2}\frac{x^{n+2}-1}{x-1}=2+3\cdot 2 x+4\cdot 3x^2+\dots+n(n+1)x^{n-1}=S(x)\\
S(1)=\lim_{x\to 1}\dfrac{n^2x^{n+2}+nx^{n+2}-2n^2x^{n+1}-4nx^{n+1}+n^2x^n+3nx^n+2x^n-2}{\left(x-1\right)^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{n+2}-1}{x-1}=1+x+x^2+\dots+x^n+x^{n+1}\\
\frac{d^2}{dx^2}\frac{x^{n+2}-1}{x-1}=2+3\cdot 2 x+4\cdot 3x^2+\dots+n(n+1)x^{n-1}=S(x)\\
S(1)=\lim_{x\to 1}\dfrac{n^2x^{n+2}+nx^{n+2}-2n^2x^{n+1}-4nx^{n+1}+n^2x^n+3nx^n+2x^n-2}{\left(x-1\right)^3}[/tex3]

Agora é só computar esse senhor limite. Usando L'Hôpital:

[tex3]S(1)=\lim_{x\to 1}\dfrac{(n+2)n^2x^{n+1}+(n+2)nx^{n+1}-2(n+1)n^2x^{n}-4(n+1)nx^{n}+n^3x^{n-1}+3n^2x^{n-1}+2nx^{n-1}}{3\left(x-1\right)^2}\\
S(1)=\lim_{x\to 1}\frac{n^2(n+1)(n+2)x^{n}+n(n+1)(n+2)x^n-2n^3(n+1)x^{n-1}-4n^2(n+1)x^{n-1}+(n-1)n^3x^{n-2}+3n^2(n-1)x^{n-2}+2n(n-1)x^{n-2}}{6(x-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S(1)=\lim_{x\to 1}\dfrac{(n+2)n^2x^{n+1}+(n+2)nx^{n+1}-2(n+1)n^2x^{n}-4(n+1)nx^{n}+n^3x^{n-1}+3n^2x^{n-1}+2nx^{n-1}}{3\left(x-1\right)^2}\\
S(1)=\lim_{x\to 1}\frac{n^2(n+1)(n+2)x^{n}+n(n+1)(n+2)x^n-2n^3(n+1)x^{n-1}-4n^2(n+1)x^{n-1}+(n-1)n^3x^{n-2}+3n^2(n-1)x^{n-2}+2n(n-1)x^{n-2}}{6(x-1)}[/tex3]

Olha, eu to com preguiça de aplicar mais uma vez L'Hôpital, mas se você quiser continuar... Felizmente tem um jeito roubado de resolver esse problema, mesmo que talvez nem aceitem se você colocar em uma prova kkkkk

Veja que:

[tex3]\sum_{k=1}^x f(k)=C+\int f(x)dx+\frac{f(x)}{2}+\sum_{k=1}^r \frac{B_{2k}}{2k!}f^{2k-1}(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^x f(k)=C+\int f(x)dx+\frac{f(x)}{2}+\sum_{k=1}^r \frac{B_{2k}}{2k!}f^{2k-1}(x)[/tex3]

Onde C é uma constante e B são os números de bernoulli.

E facilmente

[tex3]\sum_{k=1}^x k(k+1)=C+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}+\frac{B_2}{2}(2x+1)[/tex3]

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[tex3]\sum_{k=1}^x k(k+1)=C+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}+\frac{B_2}{2}(2x+1)[/tex3]

E com [tex3]B_2=\frac{1}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B_2=\frac{1}{6}[/tex3]

se obtém

[tex3]\sum_{k=1}^x k(k+1)=C+\frac{x^3}{3}+x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{12}\\
\sum_{k=1}^x k(k+1)=\frac{x^3+3x^2+2x}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^x k(k+1)=C+\frac{x^3}{3}+x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{12}\\
\sum_{k=1}^x k(k+1)=\frac{x^3+3x^2+2x}{3}[/tex3]

Obs: é só plugar algum valor de x para descobrir C (uma constante).

Bônus: [tex3]\sum_{n=1}^\infty n(n+1)=\sum_{n=1}^\infty n~~?[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^\infty n(n+1)=\sum_{n=1}^\infty n~~?[/tex3]

Edit: esqueci de falar que r é um parâmetro que está ali devido à natureza do tipo de expansão que geralmente é gerada à partir desse método. Para qualquer função polinomial, porém, você pode fazer [tex3]r=\infty[/tex3]

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[tex3]r=\infty[/tex3]

.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]A(n) = n^3 + bn^2+cn[/tex3]

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[tex3]A(n) = n^3 + bn^2+cn[/tex3]

[tex3]A(n+1) = (n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)[/tex3]

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[tex3]A(n+1) = (n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)[/tex3]

[tex3]A(n+1)-A(n) = (n^2+n+1)+b(2n+1)+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(n+1)-A(n) = (n^2+n+1)+b(2n+1)+c[/tex3]

tome b=0 e c=-1 e como [tex3]A(1)=2[/tex3]

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[tex3]A(1)=2[/tex3]

então [tex3]A(n)= n^3-n+2[/tex3]

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[tex3]A(n)= n^3-n+2[/tex3]

a fórmula da soma é [tex3]n^3-n+2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n^3-n+2[/tex3]

esses de soma de polinômios são relativamente simples de fazer.