Determine o número de soluções da equação, em função de n, nos inteiros:
[tex3]|a|+|b|+|c|=n[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ Número de soluções Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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undefinied3
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Jul 2017
24
17:44
Número de soluções
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
alevini98
- Mensagens: 422
- Registrado em: 21 Jul 2017, 16:23
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Jul 2017
24
21:17
Re: Número de soluções
Para [tex3]a,b,c\in~\mathbb{N}[/tex3]
:
[tex3]|a|+|b|+|c|=n[/tex3]
Mas, como pertencem aos naturais, pode-se escrever:
[tex3]a+b+c=n[/tex3]
Mas, explicando, para se calcular o número de soluções em uma equação do tipo [tex3]x+y+z=\alpha[/tex3] , assumindo [tex3]\alpha[/tex3] como 10 nessa explicação, vamos considerar os sinais de soma como as letras B e quantificar em letra A esse 10 (no caso o [tex3]\alpha[/tex3] ).
Ficaria assim:
x+y+z=10
Quando [tex3]x=3,y=2,z=5[/tex3] :
AAABAABAAAAAA
Quando [tex3]x=0,y=1,z=9[/tex3] :
BABAAAAAAAAA
Pegou a ideia? Dessa forma podemos fazer uma permutação com repetição e calcular todos as equações possíveis quando sua soma é 10.
[tex3]P_{12}^{10,2}\to66~\mbox{soluções possíveis}[/tex3] .
Mas não esqueça de que essa forma só calcula as soluções possíveis em que [tex3]a,b,c\in\mathbb{N}[/tex3] . Se as incógnitas pudessem assumir valores negativos (sem o módulo, como na questão), haveriam infinitas soluções.
Agora, voltando à [tex3]a+b+c=n[/tex3] :
[tex3]P_{n+2}^{n,2}=\frac{(n+2)!}{n!2!}\\\\\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!2!}\\\\\frac{n^2+3n+2}{2}[/tex3]
Mas, como estão em módulo, isto é, [tex3]|a|+|b|+|c|[/tex3] , cada incógnita pode assumir duas formas possíveis, positivo ou negativo. Logo:
[tex3]2\cdot2\cdot2=8[/tex3]
Multiplicando as formas possíveis pela quantidade de soluções possíveis quando as incógnitas são todas positivas:
[tex3]8\cdot\frac{n^2+3n+2}{2}\\\\4(n^2+3n+2)[/tex3]
Edit:
Esqueci de subtrair 6 dessa quantidade de soluções, pois zero não pode assumir duas formas diferentes (positivo ou negativo). As soluções a serem "retiradas" seriam as seguintes:
0+x+y
x+0+y
x+y+0
0+0+x
0+x+0
x+0+0
0+0+0 não é retirado pois não é considerado na permutação calculada.
Então:
[tex3]4n^2+12n+8-6\\\\\boxed{4n^2+12n+2}[/tex3] .
Tem o gabarito?
[tex3]|a|+|b|+|c|=n[/tex3]
Mas, como pertencem aos naturais, pode-se escrever:
[tex3]a+b+c=n[/tex3]
Mas, explicando, para se calcular o número de soluções em uma equação do tipo [tex3]x+y+z=\alpha[/tex3] , assumindo [tex3]\alpha[/tex3] como 10 nessa explicação, vamos considerar os sinais de soma como as letras B e quantificar em letra A esse 10 (no caso o [tex3]\alpha[/tex3] ).
Ficaria assim:
x+y+z=10
Quando [tex3]x=3,y=2,z=5[/tex3] :
AAABAABAAAAAA
Quando [tex3]x=0,y=1,z=9[/tex3] :
BABAAAAAAAAA
Pegou a ideia? Dessa forma podemos fazer uma permutação com repetição e calcular todos as equações possíveis quando sua soma é 10.
[tex3]P_{12}^{10,2}\to66~\mbox{soluções possíveis}[/tex3] .
Mas não esqueça de que essa forma só calcula as soluções possíveis em que [tex3]a,b,c\in\mathbb{N}[/tex3] . Se as incógnitas pudessem assumir valores negativos (sem o módulo, como na questão), haveriam infinitas soluções.
Agora, voltando à [tex3]a+b+c=n[/tex3] :
[tex3]P_{n+2}^{n,2}=\frac{(n+2)!}{n!2!}\\\\\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!2!}\\\\\frac{n^2+3n+2}{2}[/tex3]
Mas, como estão em módulo, isto é, [tex3]|a|+|b|+|c|[/tex3] , cada incógnita pode assumir duas formas possíveis, positivo ou negativo. Logo:
[tex3]2\cdot2\cdot2=8[/tex3]
Multiplicando as formas possíveis pela quantidade de soluções possíveis quando as incógnitas são todas positivas:
[tex3]8\cdot\frac{n^2+3n+2}{2}\\\\4(n^2+3n+2)[/tex3]
Edit:
Esqueci de subtrair 6 dessa quantidade de soluções, pois zero não pode assumir duas formas diferentes (positivo ou negativo). As soluções a serem "retiradas" seriam as seguintes:
0+x+y
x+0+y
x+y+0
0+0+x
0+x+0
x+0+0
0+0+0 não é retirado pois não é considerado na permutação calculada.
Então:
[tex3]4n^2+12n+8-6\\\\\boxed{4n^2+12n+2}[/tex3] .
Tem o gabarito?
Editado pela última vez por alevini98 em 24 Jul 2017, 21:50, em um total de 3 vezes.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2017
24
22:26
Re: Número de soluções
A idéia é a que foi indicada acima
se n=0 temos uma única solução se n>0
teremos [tex3]{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções sem zeros.
logo [tex3]8{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções desprezando as com zero.
considerando a=0 teremos [tex3]{n-1 \choose 1}[/tex3] sem zeros que devem ser multiplicadas por 4
ao todo acho que temos
[tex3]8{n-1 \choose 2} + 12(n-1)+6[/tex3]
essas 6 contando os zeros. Mas considero [tex3]{0 \choose n}=0[/tex3]
então essa fórmula vale pra n>2
[tex3]4(n-1)(n-2)+12(n-1)+6 = 4(n-1)[n-2+3]+6 = 4(n^2-1)+6=4n^2+2[/tex3]
se n=0 temos uma única solução se n>0
teremos [tex3]{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções sem zeros.
logo [tex3]8{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções desprezando as com zero.
considerando a=0 teremos [tex3]{n-1 \choose 1}[/tex3] sem zeros que devem ser multiplicadas por 4
ao todo acho que temos
[tex3]8{n-1 \choose 2} + 12(n-1)+6[/tex3]
essas 6 contando os zeros. Mas considero [tex3]{0 \choose n}=0[/tex3]
então essa fórmula vale pra n>2
[tex3]4(n-1)(n-2)+12(n-1)+6 = 4(n-1)[n-2+3]+6 = 4(n^2-1)+6=4n^2+2[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 25 Jul 2017, 02:43, em um total de 2 vezes.
-
alevini98
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Jul 2017
25
09:21
Re: Número de soluções
Acho que cometi o erro em relação às soluções com zeros mais de uma vez. 
Acredito que não são apenas essas 6 soluções que calculei pra mais. Mas também não consigo achar uma forma de "retirar" todas essas soluções que foram contadas mais de uma vez.
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