Determine o número de soluções da equação, em função de n, nos inteiros:
[tex3]|a|+|b|+|c|=n[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Número de soluções Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Jul 2017
24
17:44
Número de soluções
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Jul 2017
24
21:17
Re: Número de soluções
Para [tex3]a,b,c\in~\mathbb{N}[/tex3]
[tex3]|a|+|b|+|c|=n[/tex3]
Mas, como pertencem aos naturais, pode-se escrever:
[tex3]a+b+c=n[/tex3]
Mas, explicando, para se calcular o número de soluções em uma equação do tipo [tex3]x+y+z=\alpha[/tex3] , assumindo [tex3]\alpha[/tex3] como 10 nessa explicação, vamos considerar os sinais de soma como as letras B e quantificar em letra A esse 10 (no caso o [tex3]\alpha[/tex3] ).
Ficaria assim:
x+y+z=10
Quando [tex3]x=3,y=2,z=5[/tex3] :
AAABAABAAAAAA
Quando [tex3]x=0,y=1,z=9[/tex3] :
BABAAAAAAAAA
Pegou a ideia? Dessa forma podemos fazer uma permutação com repetição e calcular todos as equações possíveis quando sua soma é 10.
[tex3]P_{12}^{10,2}\to66~\mbox{soluções possíveis}[/tex3] .
Mas não esqueça de que essa forma só calcula as soluções possíveis em que [tex3]a,b,c\in\mathbb{N}[/tex3] . Se as incógnitas pudessem assumir valores negativos (sem o módulo, como na questão), haveriam infinitas soluções.
Agora, voltando à [tex3]a+b+c=n[/tex3] :
[tex3]P_{n+2}^{n,2}=\frac{(n+2)!}{n!2!}\\\\\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!2!}\\\\\frac{n^2+3n+2}{2}[/tex3]
Mas, como estão em módulo, isto é, [tex3]|a|+|b|+|c|[/tex3] , cada incógnita pode assumir duas formas possíveis, positivo ou negativo. Logo:
[tex3]2\cdot2\cdot2=8[/tex3]
Multiplicando as formas possíveis pela quantidade de soluções possíveis quando as incógnitas são todas positivas:
[tex3]8\cdot\frac{n^2+3n+2}{2}\\\\4(n^2+3n+2)[/tex3]
Edit:
Esqueci de subtrair 6 dessa quantidade de soluções, pois zero não pode assumir duas formas diferentes (positivo ou negativo). As soluções a serem "retiradas" seriam as seguintes:
0+x+y
x+0+y
x+y+0
0+0+x
0+x+0
x+0+0
0+0+0 não é retirado pois não é considerado na permutação calculada.
Então:
[tex3]4n^2+12n+8-6\\\\\boxed{4n^2+12n+2}[/tex3] .
Tem o gabarito?
:[tex3]|a|+|b|+|c|=n[/tex3]
Mas, como pertencem aos naturais, pode-se escrever:
[tex3]a+b+c=n[/tex3]
Mas, explicando, para se calcular o número de soluções em uma equação do tipo [tex3]x+y+z=\alpha[/tex3] , assumindo [tex3]\alpha[/tex3] como 10 nessa explicação, vamos considerar os sinais de soma como as letras B e quantificar em letra A esse 10 (no caso o [tex3]\alpha[/tex3] ).
Ficaria assim:
x+y+z=10
Quando [tex3]x=3,y=2,z=5[/tex3] :
AAABAABAAAAAA
Quando [tex3]x=0,y=1,z=9[/tex3] :
BABAAAAAAAAA
Pegou a ideia? Dessa forma podemos fazer uma permutação com repetição e calcular todos as equações possíveis quando sua soma é 10.
[tex3]P_{12}^{10,2}\to66~\mbox{soluções possíveis}[/tex3] .
Mas não esqueça de que essa forma só calcula as soluções possíveis em que [tex3]a,b,c\in\mathbb{N}[/tex3] . Se as incógnitas pudessem assumir valores negativos (sem o módulo, como na questão), haveriam infinitas soluções.
Agora, voltando à [tex3]a+b+c=n[/tex3] :
[tex3]P_{n+2}^{n,2}=\frac{(n+2)!}{n!2!}\\\\\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!2!}\\\\\frac{n^2+3n+2}{2}[/tex3]
Mas, como estão em módulo, isto é, [tex3]|a|+|b|+|c|[/tex3] , cada incógnita pode assumir duas formas possíveis, positivo ou negativo. Logo:
[tex3]2\cdot2\cdot2=8[/tex3]
Multiplicando as formas possíveis pela quantidade de soluções possíveis quando as incógnitas são todas positivas:
[tex3]8\cdot\frac{n^2+3n+2}{2}\\\\4(n^2+3n+2)[/tex3]
Edit:
Esqueci de subtrair 6 dessa quantidade de soluções, pois zero não pode assumir duas formas diferentes (positivo ou negativo). As soluções a serem "retiradas" seriam as seguintes:
0+x+y
x+0+y
x+y+0
0+0+x
0+x+0
x+0+0
0+0+0 não é retirado pois não é considerado na permutação calculada.
Então:
[tex3]4n^2+12n+8-6\\\\\boxed{4n^2+12n+2}[/tex3] .
Tem o gabarito?
Última edição: alevini98 (Seg 24 Jul, 2017 21:50). Total de 3 vezes.
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Jul 2017
24
22:26
Re: Número de soluções
A idéia é a que foi indicada acima
se n=0 temos uma única solução se n>0
teremos [tex3]{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções sem zeros.
logo [tex3]8{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções desprezando as com zero.
considerando a=0 teremos [tex3]{n-1 \choose 1}[/tex3] sem zeros que devem ser multiplicadas por 4
ao todo acho que temos
[tex3]8{n-1 \choose 2} + 12(n-1)+6[/tex3]
essas 6 contando os zeros. Mas considero [tex3]{0 \choose n}=0[/tex3]
então essa fórmula vale pra n>2
[tex3]4(n-1)(n-2)+12(n-1)+6 = 4(n-1)[n-2+3]+6 = 4(n^2-1)+6=4n^2+2[/tex3]
se n=0 temos uma única solução se n>0
teremos [tex3]{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções sem zeros.
logo [tex3]8{n-1 \choose 2}[/tex3] soluções desprezando as com zero.
considerando a=0 teremos [tex3]{n-1 \choose 1}[/tex3] sem zeros que devem ser multiplicadas por 4
ao todo acho que temos
[tex3]8{n-1 \choose 2} + 12(n-1)+6[/tex3]
essas 6 contando os zeros. Mas considero [tex3]{0 \choose n}=0[/tex3]
então essa fórmula vale pra n>2
[tex3]4(n-1)(n-2)+12(n-1)+6 = 4(n-1)[n-2+3]+6 = 4(n^2-1)+6=4n^2+2[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 25 Jul, 2017 02:43). Total de 2 vezes.
Jul 2017
25
09:21
Re: Número de soluções
Acho que cometi o erro em relação às soluções com zeros mais de uma vez.
Acredito que não são apenas essas 6 soluções que calculei pra mais. Mas também não consigo achar uma forma de "retirar" todas essas soluções que foram contadas mais de uma vez.
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