Ensino Médio ⇒ Anagramas da Palavra Futebol

[ismaelmat]

45.325-Com a palavra FUTEBOL:

i)quantos anagramas não apresentam as 3 vogais juntas?

Gabarito:

Resposta

---

4320

[alevini98]

Para isso devemos primeiro calcular o total de anagramas e subtrair a quantidade de anagramas em que as três vogais estão juntas.

Total de anagramas:

[tex3]P_7\to7!\to5040[/tex3]

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[tex3]P_7\to7!\to5040[/tex3]

Quantidade de anagramas em que as três vogais estão juntas:

Nesse caso deve-se considerar as vogais como um único grupo, permutar esse grupo com as outras letras da palavra futebol e então fazer a permutação entre as próprias vogais.

[tex3]\boxed{\underline{U}~\underline{E}~\underline{O}}~\underline{F}~\underline{T}~\underline{B}~\underline{L}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\underline{U}~\underline{E}~\underline{O}}~\underline{F}~\underline{T}~\underline{B}~\underline{L}[/tex3]

Permutando os grupos:

[tex3]P_5[/tex3]

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[tex3]P_5[/tex3]

Permutando as vogais entre si:

[tex3]P_3[/tex3]

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[tex3]P_3[/tex3]

Logo:

[tex3]P_5\cdot P_3\to120\cdot6\to720[/tex3]

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[tex3]P_5\cdot P_3\to120\cdot6\to720[/tex3]

Subtraindo 720 de 5040 acharemos a quantidade dos anagramas pedidos:

[tex3]5040-720~\to~\boxed{4320}[/tex3]

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[tex3]5040-720~\to~\boxed{4320}[/tex3]