(01) Falsa, pois o gráfico só é simétrico em relação ao eixo y, não aos eixos x e y simultaneamente.
Para provar a simetria em relação ao eixo y, usamos determinado valor x e o seu negativo, -x.
[tex3]x\to a~\mbox{e}~-x\to-a[/tex3]
[tex3]\begin{array}{lcr}b^a+b^{-a}&&b^{-a}+b^{-(-a)}\\b^a+b^{-a}&&b^{-a}+b^a\\b^a+b^{-a}&=&b^a+b^{-a}\end{array}[/tex3]
Não há simetria em relação ao eixo x, pois na função exponencial a base não pode ser negativa, logo
b>0, dessa forma a função não assume valores negativos.
(02) Falsa, pois a função é ímpar para qualquer valor de b.
[tex3]fg\\(b^x+b^{-x})(b^x-b^{-x}+x)\\b^{2x}-b^0+xb^x+b^0-b^{2x,}+x^2{-x}\\b^{2x}-b^{-2x}+(b^x+b^{-x})x[/tex3]
Fazendo o mesmo que foi feito na afirmativa 01:
[tex3]\begin{array}{lcr}b^{2a}-b^{-2a}+(b^a+b^{-a})a&&b^{2(-a)}-b^{-2(-a)}+(b^{-a}+b^{-(-a)})(-a)\end{array}[/tex3]
Observe que de cara é possível perceber que a função fg é ímpar, não importando o valor de b, ou seja, ela é ímpar para qualquer valor, não apenas quando b está no intervalo [tex3]]0,1[[/tex3]
.
(04) Verdadeira.
Lembre que [tex3]foh=f(h(x))[/tex3]
[tex3]foh=b^{\log_b{x}}+b^{-\log_b{x}}\\\\foh=b^{\log_b{x}}+b^{\log_b{\frac{1}{x}}}\\\\\boxed{a^{\log_a{b}}=b}\\\\foh=x+\frac{1}{x}\\\\foh=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}\\\\foh=\frac{x^2+1}{x}~,~x\in~]0,+\infty[[/tex3]
(08) Verdadeira.
[tex3]\begin{array}{lcr}f(x)(g(x)-x)&&g(2x)-2x\\(b^x+b^{-x})(b^x-b^{-x}+x-x)&&b^{2x}-b^{-2x}+2x-2x\\(b^x+b^{-x})(b^x-b^{-x})&&b^{2x}-b^{-2x}\\b^{2x}-b^{-2x}&=&b^{2x}-b^{-2x}\end{array}[/tex3]
(16) Falsa, pois 1 está fora do intervalo dado.
Nesse caso basta substituir o x da função por 2 e igualá-la a 2. Caso resulte em um b dentro do intervalo dado, a afirmativa será verdadeira.
[tex3]f(2)=2\\\\b^2+b^{-2}=2\\\\b^2+\frac{1}{b^2}=2\\\\\frac{b^4}{b^2}+\frac{1}{b^2}=2\\\\\frac{b^4+1}{b^2}=2\\\\b^4+1=2b^2[/tex3]
Essa é uma função biquadrática, então, para facilitar: [tex3]\boxed{b^2=a}[/tex3]
[tex3]a^2+1=2a\\\\a^2-2a+1=0[/tex3]
Por produto notável:
[tex3](a-1)^2=0\\\\a-1=0\\\\a=1[/tex3]
Substituindo de volta:
[tex3]b^2=a\\\\b^2=1\\\\\boxed{b=\pm1}[/tex3]
[tex3]b\not\in~]0,+\infty[~-\{1\}[/tex3]
(32) Essa não consegui fazer.
