Ensino Médio ⇒ Racionalização
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Jul 2017
16
18:41
Racionalização
Racionalize a expressão:
[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}[/tex3]
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Jul 2017
16
20:12
Re: Racionalização
[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/tex3]
Então multiplicaríamos tudo por
[tex3](x^\frac{3}{2}+y^\frac{3}{2}+z^\frac{3}{2}-(xy)^\frac{1}{3}-(xz)^{\frac{1}{3}}-(yz)^\frac{1}{3})[/tex3]
Só que aí aparece esse 3abc no denominador é continua com raiz.
[tex3]u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)[/tex3]
Tome [tex3]u=a^3+b^3+c^3[/tex3] e [tex3]v=3abc[/tex3] . Assim, multiplicamos tudo por
[tex3]((x+y+z)^2+3(x+y+z)\sqrt[3]{xyz}+(xyz)^{\frac{2}{3}})[/tex3]
Não sei se tem algum jeito mais imediato mas isso deve resolver.
Então multiplicaríamos tudo por
[tex3](x^\frac{3}{2}+y^\frac{3}{2}+z^\frac{3}{2}-(xy)^\frac{1}{3}-(xz)^{\frac{1}{3}}-(yz)^\frac{1}{3})[/tex3]
Só que aí aparece esse 3abc no denominador é continua com raiz.
[tex3]u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)[/tex3]
Tome [tex3]u=a^3+b^3+c^3[/tex3] e [tex3]v=3abc[/tex3] . Assim, multiplicamos tudo por
[tex3]((x+y+z)^2+3(x+y+z)\sqrt[3]{xyz}+(xyz)^{\frac{2}{3}})[/tex3]
Não sei se tem algum jeito mais imediato mas isso deve resolver.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Abr 2018
29
14:02
Re: Racionalização
Seja [tex3]\alpha=x^{1/3}+y^{1/3}+z^{1/3}[/tex3]
Se [tex3]xyz=1[/tex3]
[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z~~~(*)\\
\frac{x+y+z-3}{\alpha}=\alpha^2-3\beta\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2-3\beta}{x+y+z-3}[/tex3]
Edit: * só é válida quando [tex3]xyz=1[/tex3] , conforme apontado pelo sousóeu.
e [tex3]\beta=(xy)^{1/3}+(xz)^{1/3}+(yz)^{1/3}[/tex3]
Se [tex3]xyz=1[/tex3]
[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z~~~(*)\\
\frac{x+y+z-3}{\alpha}=\alpha^2-3\beta\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2-3\beta}{x+y+z-3}[/tex3]
Edit: * só é válida quando [tex3]xyz=1[/tex3] , conforme apontado pelo sousóeu.
Última edição: Andre13000 (Dom 29 Abr, 2018 18:27). Total de 2 vezes.
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Abr 2018
29
16:07
Re: Racionalização
[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z[/tex3]
tem certeza dessa expressão?
tem certeza dessa expressão?
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Abr 2018
29
18:25
Re: Racionalização
Nossa mano, falhei miseravelmente aqui, foi mal kkk. Eu considerei [tex3]xyz=1[/tex3]
, enquanto isso não é necessariamente verdade. Vou tentar corrigir, mas acho que talvez essa ideia do polinômio não vá dar tão certo quanto achei por causa disso.“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Abr 2018
29
20:18
Re: Racionalização
Corrigindo meu erro, vou também adotar [tex3]\gamma=(xyz)^{1/3}[/tex3]
[tex3]\alpha^3=x+y+z+3\alpha\beta-3\gamma\\
\beta^3=xy+xz+yz+3\alpha\beta\gamma-3\gamma^2[/tex3]
Por questão de brevidade adotarei [tex3]a=x+y+z[/tex3] e [tex3]b=xy+xz+yz[/tex3]
Infelizmente esses cálculos são muito tediosos para eu colocar aqui, mas a demonstração se dá elevando alfa e beta ao cubo e organizando os fatores. A minha ideia era obter o polinômio mínimo em alfa da expressão, mas podemos também multiplicar as duas equações. Fazendo [tex3]t=\alpha\beta[/tex3] .
[tex3]t^3=9\gamma t^2+(b+a\gamma-6\gamma^2)3t+ab+9\gamma^3[/tex3]
Agora fica bacana, porque se dividirmos tudo por alfa:
[tex3]\alpha^2\beta^3=9\alpha\beta^2\gamma+(b+a\gamma-6\gamma^2)3\beta+\frac{ab+9\gamma^3}{\alpha}\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2\beta^3-9\alpha\beta^2\gamma-3b\beta-3a\beta\gamma+18\beta\gamma^2}{ab+9\gamma^3}[/tex3]
Espero que esteja certo agora kkkkk.
[tex3]\alpha^3=x+y+z+3\alpha\beta-3\gamma\\
\beta^3=xy+xz+yz+3\alpha\beta\gamma-3\gamma^2[/tex3]
Por questão de brevidade adotarei [tex3]a=x+y+z[/tex3] e [tex3]b=xy+xz+yz[/tex3]
Infelizmente esses cálculos são muito tediosos para eu colocar aqui, mas a demonstração se dá elevando alfa e beta ao cubo e organizando os fatores. A minha ideia era obter o polinômio mínimo em alfa da expressão, mas podemos também multiplicar as duas equações. Fazendo [tex3]t=\alpha\beta[/tex3] .
[tex3]t^3=9\gamma t^2+(b+a\gamma-6\gamma^2)3t+ab+9\gamma^3[/tex3]
Agora fica bacana, porque se dividirmos tudo por alfa:
[tex3]\alpha^2\beta^3=9\alpha\beta^2\gamma+(b+a\gamma-6\gamma^2)3\beta+\frac{ab+9\gamma^3}{\alpha}\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2\beta^3-9\alpha\beta^2\gamma-3b\beta-3a\beta\gamma+18\beta\gamma^2}{ab+9\gamma^3}[/tex3]
Espero que esteja certo agora kkkkk.
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