Ensino Médio ⇒ Racionalização

[Andre13000]

Racionalize a expressão:

[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/tex3]

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[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/tex3]

Então multiplicaríamos tudo por
[tex3](x^\frac{3}{2}+y^\frac{3}{2}+z^\frac{3}{2}-(xy)^\frac{1}{3}-(xz)^{\frac{1}{3}}-(yz)^\frac{1}{3})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^\frac{3}{2}+y^\frac{3}{2}+z^\frac{3}{2}-(xy)^\frac{1}{3}-(xz)^{\frac{1}{3}}-(yz)^\frac{1}{3})[/tex3]

Só que aí aparece esse 3abc no denominador é continua com raiz.
[tex3]u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)[/tex3]

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[tex3]u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)[/tex3]

Tome [tex3]u=a^3+b^3+c^3[/tex3]

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[tex3]u=a^3+b^3+c^3[/tex3]

e [tex3]v=3abc[/tex3]

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[tex3]v=3abc[/tex3]

. Assim, multiplicamos tudo por
[tex3]((x+y+z)^2+3(x+y+z)\sqrt[3]{xyz}+(xyz)^{\frac{2}{3}})[/tex3]

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[tex3]((x+y+z)^2+3(x+y+z)\sqrt[3]{xyz}+(xyz)^{\frac{2}{3}})[/tex3]

Não sei se tem algum jeito mais imediato mas isso deve resolver.

[Andre13000]

Seja [tex3]\alpha=x^{1/3}+y^{1/3}+z^{1/3}[/tex3]

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[tex3]\alpha=x^{1/3}+y^{1/3}+z^{1/3}[/tex3]

e [tex3]\beta=(xy)^{1/3}+(xz)^{1/3}+(yz)^{1/3}[/tex3]

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[tex3]\beta=(xy)^{1/3}+(xz)^{1/3}+(yz)^{1/3}[/tex3]

Se [tex3]xyz=1[/tex3]

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[tex3]xyz=1[/tex3]

[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z~~~(*)\\
\frac{x+y+z-3}{\alpha}=\alpha^2-3\beta\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2-3\beta}{x+y+z-3}[/tex3]

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[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z~~~(*)\\
\frac{x+y+z-3}{\alpha}=\alpha^2-3\beta\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2-3\beta}{x+y+z-3}[/tex3]

Edit: * só é válida quando [tex3]xyz=1[/tex3]

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[tex3]xyz=1[/tex3]

, conforme apontado pelo sousóeu.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z[/tex3]

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[tex3]\alpha^3-3\alpha\beta+3=x+y+z[/tex3]

tem certeza dessa expressão?

[Andre13000]

Nossa mano, falhei miseravelmente aqui, foi mal kkk. Eu considerei [tex3]xyz=1[/tex3]

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[tex3]xyz=1[/tex3]

, enquanto isso não é necessariamente verdade. Vou tentar corrigir, mas acho que talvez essa ideia do polinômio não vá dar tão certo quanto achei por causa disso.

[Andre13000]

Corrigindo meu erro, vou também adotar [tex3]\gamma=(xyz)^{1/3}[/tex3]

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[tex3]\gamma=(xyz)^{1/3}[/tex3]

[tex3]\alpha^3=x+y+z+3\alpha\beta-3\gamma\\
\beta^3=xy+xz+yz+3\alpha\beta\gamma-3\gamma^2[/tex3]

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[tex3]\alpha^3=x+y+z+3\alpha\beta-3\gamma\\
\beta^3=xy+xz+yz+3\alpha\beta\gamma-3\gamma^2[/tex3]

Por questão de brevidade adotarei [tex3]a=x+y+z[/tex3]

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[tex3]a=x+y+z[/tex3]

e [tex3]b=xy+xz+yz[/tex3]

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[tex3]b=xy+xz+yz[/tex3]

Infelizmente esses cálculos são muito tediosos para eu colocar aqui, mas a demonstração se dá elevando alfa e beta ao cubo e organizando os fatores. A minha ideia era obter o polinômio mínimo em alfa da expressão, mas podemos também multiplicar as duas equações. Fazendo [tex3]t=\alpha\beta[/tex3]

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[tex3]t=\alpha\beta[/tex3]

.

[tex3]t^3=9\gamma t^2+(b+a\gamma-6\gamma^2)3t+ab+9\gamma^3[/tex3]

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[tex3]t^3=9\gamma t^2+(b+a\gamma-6\gamma^2)3t+ab+9\gamma^3[/tex3]

Agora fica bacana, porque se dividirmos tudo por alfa:

[tex3]\alpha^2\beta^3=9\alpha\beta^2\gamma+(b+a\gamma-6\gamma^2)3\beta+\frac{ab+9\gamma^3}{\alpha}\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2\beta^3-9\alpha\beta^2\gamma-3b\beta-3a\beta\gamma+18\beta\gamma^2}{ab+9\gamma^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha^2\beta^3=9\alpha\beta^2\gamma+(b+a\gamma-6\gamma^2)3\beta+\frac{ab+9\gamma^3}{\alpha}\\
\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha^2\beta^3-9\alpha\beta^2\gamma-3b\beta-3a\beta\gamma+18\beta\gamma^2}{ab+9\gamma^3}[/tex3]

Espero que esteja certo agora kkkkk.